Задание 3. Определить усилия в заданном элементе плоской рамы (рис.4) с использованием электронных таблиц

Определить усилия в заданном элементе плоской рамы (рис.4) с использованием электронных таблиц. Сечение стоек , сечение ригелей . Пролеты равны 6 м, высота этажа – 4 м. Модуль деформации .

Рис.4. Расчетная схема

Система статически неопределимая, количество неизвестных. Составим систему канонических уравнений:

(3.1)

Система уравнений может быть представлена в матричной форме:

, (3.2)

где A – матрица, составленная из коэффициентов r_ij;

– матрица-столбец, включающая неизвестные … ;

– матрица-столбец, включающая величины R_i

Решение может быть получено путем умножения обратной матрицы

A^-1 на матрицу-столбец (-R):

(3.3)

Определение погонной жесткости элементов рамы:

; (3.4)

; (3.5)

Определение значений элементов матриц и .

Рис.2. Эпюры моментов от единичного поворота сечения в узле 2.

Рис.3. Эпюры моментов от единичного поворота сечения в узле 3.

Рис.4. Эпюры моментов от единичного поворота сечения в узле 6.

Определяем значения элементов матриц А и R_p

r₂₂=8i_c+4i_p , r₂₃=2i_c , r₂₅=2i_p , r₂₆=0, r₂₇=0, r₂₈=-6i_c/H_.

r₃₃=4i_c+4i_p , r₃₅=0, r₃₆=2i_p , r₃₇=6i_c/H, r₃₈=-6i_c/H_.

r₆₆=4i_c+4i_p , r₆₇=6i_c/H, r₆₈=-6i_c/H.

По аналогии определяются другие элементы матрицы А:

При составлении уравнений воспользуемся эпюрами М, построенными для всех единичных и внешних воздействий на элемент. При этом эпюры от единичных воздействий корректируются путем умножения значений моментов на соответствующие значения перемещений. Сумма указанных значений М в любом сечении соответствует действующему в данном сечении изгибающему моменту.

M_x=-6i_cz₂x/L_c+4i_cz₂-6i_cz₃x/L_c+2i_cz₃ -12i_cz₇x/(L_c)²+6i_cz₇/L_c+12i_cz₈x/(L_c)²-

-6i_cz₈/L_c -p(L_c)²/12+ p(L_c)x/2- px²/2

При помощи электронных таблиц Excel определяем значения моментов в произвольных сечениях стойки:

Сопоставив внешнюю нагрузку и реакции, можно сказать, что вся система в целом (рама) также находится в равновесии: проекции всех сил и реакций на горизонтальную и вертикальную оси равны нулю, а также равны нулю моменты указанных факторов относительно опорных узлов.