Задание 1. Определить прогиб плиты, имеющей длину а и ширину b, в точке с координатами xM и yM (табл.1)

Определить прогиб плиты, имеющей длину а и ширину b, в точке с координатами x_M и y_M (табл.1). Толщина плиты равна h_пл, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка Принять коэффициент Пуассона µ равным 0, 25, модуль деформаций материала плиты .

При выполнении задания использовать метод конечных разностей. Задаться шагом сетки h, указанным в табл.1. Условия опирания плиты принять по табл.1.

Таблица 1

Характеристики плиты

№ варианта	а, м	b, м	, м	, м	, м	, м
	4, 5		0, 22	0, 75	2, 25		з	з	з	з

з – жесткая заделка

Рис.1. Схема плиты

Плита разбивается прямоугольной сеткой с равным шагом в каждом из двух взаимно перпендикулярных направлений соответственно и (рис.1).

Определение цилиндрической жесткости D по формуле:

(1.1)

D=2∙ 10⁷∙ 0, 22³/12(1-0, 25²)=18, 929, 78 кН/м

Плита симметрична относительно осей, проходящих через центр, следовательно, прогибы в симметричных узлах равны.

При жесткой заделке плиты прогибы по контуру во всех узлах, расположенных на контуре и в предконтурных узлах, отстоящих на один шаг от контура, равны нулю. Следовательно, узлы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 17, 18 – нулевые, а узлы: 11, 12, 15, 16, 19, 20 – ненулевые узлы (рис.2).

Рис.2. Схема плиты с нумерацией узлов

Рис.3. Шаблон

Пользуясь шаблоном (рис.3), составим систему конечноразностных уравнений для узлов: 11, 12, 15, 16, 19, 20

Узел 11: 20W₁₁ – 8W₁₂ − 8W₁₅ +2W₁₆ + W₁₉ +W₁₁ = q/D

21W₁₁-8W₁₂-8W₁₅+2W₁₆+W₁₉= q/D

Узел 12: 20W₁₂-8W₁₁-8W₁₁-8W₁₆+4W₁₅+W₂₀=q/D

-16W₁₁+20W₁₂+4W₁₅-8W₁₆+W₂₀= q/D

Узел 15: 20W₁₅-8W₁₁-8W₁₉-8W₁₆+2W₂₀+2W₁₂+W₁₅= q/D

-8W₁₁+2W₁₂+21W₁₅-8W₁₆-8W₁₉+2W₂₀= q/D

Узел 16: 20W₁₆-8(W₁₂+W₂₀+2W₁₅)+2(2W₁₁+2W₁₉)+W₁₆= q/D

4W₁₁-8W₁₂-16W₁₅+21W₁₆+4W₁₉-8W₂₀= q/D

Узел 19: 20W₁₉-8(2W₁₅+W₂₀)+4W₁₆+2W₁₁+W₁₉= q/D

2W₁₁-16W₁₅+4W₁₆+21W₁₉-8W₂₀= q/D

Узел 20: 20W₂₀-8(2W₁₆+2W₁₉)+8W₁₅+2W₁₂= q/D

2W₁₂+8W₁₅-16W₁₆-16W₁₉+20W₂₀= q/D

h⁴∙ q/D=0, 75⁴∙ 8/18929, 78=0, 000134 м

Составленную систему алгебраических уравнений можно решить различными способами. Рассмотрим способ, основанный на матричном представлении полученной системы в виде:

,

(1.2)

где – квадратная матрица, составленная из коэффициентов при

неизвестных в конечно-разностных уравнениях;

– матрица-столбец, включающая все неизвестные прогибы;

– матрица-столбец, включающая правые части конечно-разностных уравнений

Решение уравнения (1.2) можно получить в виде:

, (1.3)

где – обратная матрица.

Составим и решим матрицу с помощью программы Microsoft Excel: