Эпизод пятый Подозрительно простая задача 1 страница

Задача. На стальном тросе А висит груз. В плоскости, перпендикулярной тросу А, движется трос Б. Как сделать, чтобы трос Б, продолжая движение, не разорвал бы трос А и сам не был бы разорван?

Я оставляю магнитофон и выхожу в коридор. Пусть решают само­стоятельно. Устраиваюсь у окна, закуриваю. Докурить мне не удается, зовут в класс.

— Повторите, пожалуйста, условия. Повторяю.

— И это все?

— Все.

— Тогда задача решена. Мы думали, там есть еще что-то. Подозри­
тельно простая задача.

Включаю магнитофон:

672 Тема 21. Психология воображения

— Почему? Трос А может частично войти в трос Б. У троса Б должен быть какой-то запас прочности, обрыв произойдет не сразу.

— Значит, мы разложили Ф₍ на Р, и Ф_г.

— Ф_г тоже можно разложить. Трос А может полностью пройти сквозь трос Б, это реальность Р_{; 1}. А вот совпадение оборванных концов — это уже фантас­тика, т.е. Ф_у

— Человечки на одном конце троса должны схватить человечков на дру­гом конце.

— Если представить, что размеры троса Б стремятся к нулю, трос Б сво­бодно пройдет между человечками троса А...

Шум... С трудом разбираю обрывки фраз: «Магниты... Магнитное сцепление... А если груз тяжелый?..»

Приходится расспрашивать, восстанавливать ход решения. Выяс­няю, что одни продолжали работать с золотой рыбкой, другие использо­вали маленьких человечков, третьи — оператор РВС. Приверженцы ма­леньких человечков вручают мне рисунок: «Тут же все ясно...» Решение у всех одинаковое.

— Правда, похоже на руки? Человечки перехватывают руками верхнюю часть троса...

М, Вертхаймер ОТКРЫТИЕ ГАЛИЛЕЯ¹

Как Галилей совершил то открытие, которое привело к формули­ровке закона инерции и, таким образом, к возникновению современной физики?

Известен целый ряд попыток ответить на этот вопрос, однако и до сих пор он остается не вполне ясным. Ситуация, в которой находился Галилей, была отягощена крайне сложными понятиями и спекуляциями, касавшимися природы движения.

Предшествующие обсуждения центрировались на такого рода воп­росах: направлялось ли мышление Галилея индукцией или абстракци­ей? Опытным наблюдением и экспериментом или же некими априор­ными предложениями? Можно ли считать принципиальной заслугой Галилея то, что он превратил качественные наблюдения в количествен­ные? и др.

Если изучить литературу — древние трактаты по физике и работы современников Галилея, — то можно обнаружить, что одной из самых замечательных черт мышления Галилея была его способность достигать предельно ясного структурного понимания (insight) на чрезвычайно слож­ном и запутанном фоне.

Я не буду пытаться дать здесь историческую реконструкцию. Это потребовало бы основательного анализа огромного материала первоисточ­ников, а я не историк. К тому же доступный нам исторический матери­ал все равно недостаточен для психолога, интересующегося деталями развивающегося процесса мысли, которые обычно опускаются в тексте.

¹ Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю.Б.Гтгаен-
рейтер, В.В.Штухова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. С. 351-355.

² Различались «естественное» и «вынужденное» движения. Существовало понятие
производящей силы и спекуляции о роли среды в отсрочке того момента, когда тело
приходит к покою. Существовали определенные представления о «естественных» круго­
вых движениях с постоянной скоростью и т.д.

-13 3»к. J5K

Тема 21. Психология воображения

К сожалению, мы не можем расспросить самого Галилея о действитель­ном ходе его мысли, хотя мне, например, и очень хотелось бы это сде­лать, особенно по поводу отдельных моментов. Моя попытка воссоздать некоторые линии этого красивого процесса будет в известном смысле лишь психологической гипотезой, не претендующей на историческую правильность. Но, я думаю, что кое-что мы все-таки сможем извлечь из нее для решения нашей проблемы.

Я надеюсь, что читатель будет не только читать, но и попытается думать вместе со мной.

Ситуация следующая:

1. Если взять камень в руку и отпустить его, то он упадет вниз. Так происходит со всеми тяжелыми телами. Прежний физик сказал бы: «Тя­желые тела имеют тяготение к своему дому, земле».

2. Если толкнуть тело, скажем, повозку или мяч по горизонталь­ной плоскости, то оно придет в движение и будет двигаться некоторое время, пока не остановится. Остановка последует скорее, если толчок будет слабым, и, наоборот, несколько позже, если толчок будет сильным. Это — самые простые значения старого термина. Рано или поздно дви­жущееся тело остановится, если сила, толкавшая его, перестанет действо­вать. Это очевидно.

3. Имеются некоторые дополнительные факторы, которые необхо­димо рассматривать в связи с анализом движения, а именно: величина объекта, его форма, поверхность, по которой движется тело, наличие или отсутствие препятствий и т.д.

Итак, нам известно огромное число факторов, так или иначе каса­ющихся движения. Все они хорошо нам знакомы. Но понимаем ли мы их? Кажется, что да. На самом деле, разве мы не знаем, чем вызывает­ся движение?! Разве мы не можем усмотреть здесь действие некого принципа?

Галилея эти знания не удовлетворяли. Он спросил себя: «Знаем ли мы, как действительно происходит такое движение?» Побуждаемый же­ланием понять внутренние законы движения, Галилей сказал себе: «Мы знаем, что тяжелое тело падает, но как оно падает? При падении оно приобретает некоторую скорость. Скорость растет вместе с увеличением пройденного телом пути. Но как именно?»

Обыденный опыт дает нам лишь грубую картину происходящего. Галилей начал наблюдать и экспериментировать в надежде обнаружить, что же происходит со скоростью и подчиняется ли ее изменение каким-либо понятным принципам. Его эксперименты представляются чрезвы­чайно грубыми по сравнению с тем, что достигла физика позже. Но, орга-

Вертхаймер М, Открытие Галилея 6? § низуя эти наблюдения и эксперименты, Галилей пытался сформулировать свою гипотезу. Сначала он нашел формулу ускорения падающего тела. Так как скорость падения тела велика и было трудно установить ее точное значе­ние, то Галилей решил изучить этот вопрос, рассуждая так: «Не могу ли я исследовать движение более надежным способом? Как я буду изучать, как шарик скатывается по наклонной плоскости? Разве свободное паде­ние не есть лишь частный случай движения по наклонной плоскости, когда угол наклона достиг 90°?» Изучая ускорение в различных случаях, он увидел, что оно умень­шается вместе с уменьшением угла наклона (рис. 1). Величине угла со­ответствует величина уменьшения ускорения. Рис. 1 Ускорение стало самым главным и центральным фактом, как толь­ко Галилей усмотрел принципиальную связь уменьшения ускорения с уменьшением величины угла. Потом он вдруг спросил себя: «Не есть ли это лишь половина це­лой картины?» Не является ли то, что происходит, когда тело под­брасывают вверх или когда шар толкают в гору, другой симметричной частью той же самой картины, частью, которая как отражение в зер­кале повторяет то, что есть у нас, и таким образом сообщает картине полноту? Когда тело подбрасывают вверх, мы имеем не положительное, а отрицательное ускорение. По мере подъема тела его скорость убывает. И опять, симметрично положительному ускорению падающего тела, это отрицательное ускорение уменьшается по мере того, как угол наклона все

676 Тема 21, Психология воображения Рис.2 больше отклоняется от 90°, так что получается законченная, полная кар­тина (рис. 2). Но полна ли и эта картина? Нет. В ней есть пробел. Что будет, когда плоскость горизонтальна, когда угол равен нулю, а тело находит­ся в движении? Во всех случаях мы можем начинать с некоторой дан­ной скорости. Что же тогда должно произойти в соответствии с нашей структурой? Положительное ускорение вниз и отрицательное ускорение вверх уменьшаются при отклонении от вертикали до... и не положительного, и не отрицательного ускорения, т.е.... до постоянного движения?! Если тело движется горизонтально в данном направлении, оно будет продолжать дви­гаться с постоянной скоростью — вечно, если только некая внешняя сила не изменит состояния движения. Это утверждение находится в крайнем противоречии с прежним положением, приведенным выше в п. 2. Тело, движущееся с постоянной скоростью, никогда не придет к состоянию покоя, если только не действу­ют внешние помехи, вне зависимости от того, была ли сила, приведшая тело в движение, сильной или слабой. Что за странное заключение! Противоречащее на первый взгляд всему обыденному опыту и все-таки требуемое логикой структуры. Конечно же, мы не можем выполнить такого эксперимента. Даже если бы мы могли устранить все внешние помехи, чего мы, разумеется, сделать не можем, возможность вечного наблюдения, конечно, исключе-

на. С другой стороны, затухание изменения ускорения ясно указывает на нулевую величину этого изменения для данного случая.

Точка зрения Галилея подтвердилась и послужила основанием для развития современной физики.

Что существенно для этого описанного здесь процесса?

Во-первых, желание выяснить, что же происходит, когда тело па­дает или скатывается вниз; желание посмотреть, нет ли во всех этих случаях некоего внутреннего принципа; желание рассмотреть все случаи при различных углах наклона.

Это центрирует мысль на ускорении. Организация экспериментов определяется гипотезой о том, что центрация на вопросе об ускорении может привести к пояснению всей проблемы.

Различные случаи выступают как части некой хорошо упорядочен­ной структуры, указывая на отношение, существующее между углами наклона и величиной ускорения. Каждый отдельный случай занимает свое место в группе, и то, что происходит в каждом из этих случаев, может быть понято как определяемое этим местом.

Во-вторых, эта структура рассматривается теперь как часть более широкого контекста: существует и другая, дополнительная часть, пони­маемая как симметричная к первой и формирующая целое, в котором эти две половинки представляют собой две больших, соответствующих друг другу подгруппы, с положительным ускорением в одной, с отрицатель­ным — в другой. Они видятся теперь как бы с одной точки зрения, в со­гласованной структуре целого.

В-третьих, обнаруживается, что в этой структуре существует некая критическая точка — случай горизонтального движения. Структурный принцип целого задает ясную необходимость существования именно этой точки. С точки зрения этой необходимости случай горизонтального дви­жения выступает как такой случай, при котором не происходит ни уско­рения, ни замедления, как случай постоянной скорости. Следовательно, покой становится только частным случаем движения с постоянной ско­ростью, случаем отсутствия положительного или отрицательного ускоре­ния. Покой и постоянное прямолинейное движение в горизонтальном направлении выступают теперь как структурные эквиваленты.

Конечно, при этом используются и операции традиционной логики, такие, как индукция, вывод, формулировка теории, равно как и наблю­дение, и изобретательное экспериментирование. Но все эти операции функционируют, занимая определенное место внутри целого процесса. Сам же этот процесс управляется той перецентрацией, которая происте­кает из желания добиться осмысленного понимания. Это приводит к трансформации, в результате которой вещи видятся как части новой, ясной структуры.

Продуктивные процессы имеют зачастую следующую природу: же­лание достичь подлинного понимания побуждает к исследованию и запус-

кает его. Определенная область в ноле исследования выделяется как кри­тическая и центральная, но не становится при этом изолированной, Скла­дывается новая, более глубокая, структурная точка зрения на ситуацию, вызывая изменения в функциональных значениях отдельных элементов, в их группировке и т. д. Направляясь тем, чего требует структура ситу­ации для критической области, приходят к некоторому осмысленному предсказанию, которое, точно так же, как и другие части этой структу­ры, требует верификации, прямой или косвенной.

Рассказывая эту историю, я часто с чувством глубокого удовлетворе­ния видел, как у многих моих слушателей возникал живой и искренний интерес. Следя за теми драматическими событиями, которые происходили в головах у моих слушателей, я вдруг видел, как в самый критический момент некоторые из них восклицали: «Теперь я понимаю (See)l», Для них это был переход от знания некоторого разрозненного ряда вещей к углуб­ленному пониманию и осмысленному взгляду на целое.

А, Пуанкаре МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО¹

Генезис математического творчества является проблемой, которая должна вызывать живейший интерес у психологов. Кажется, что в этом процессе человеческий ум меньше всего заимствует из внешнего мира к действует, или только кажется действующим, лишь сам по себе и сам над собой. Поэтому, изучая процесс математической мысли, мы можем наде­яться постичь нечто самое существенное в человеческом сознании.

Это было понято уже давно, и несколько месяцев назад журнал «Математическое образование», издаваемый Лезаном и Фэром, опубли­ковал вопросник, касающийся умственных привычек и методов работы различных математиков. К тому моменту, когда были опубликованы ре­зультаты этого опроса, мой доклад был в основном уже подготовлен, так что я практически не мог ими воспользоваться. Отмечу лишь, что боль­шинство ответов подтвердило мои заключения; я не говорю об единогла­сии, так как при всеобщем опросе на него и нельзя надеяться.

Первый факт, который должен нас удивлять, или, вернее, должен был бы удивлять, если бы к нему не привыкли, следующий: как получа­ется, что существуют люди, не понимающие математики?

Тот факт, что не все способны на открытие, не содержит ничего таинственного. Можно понять и то, что не все могут запомнить доказа­тельство, которое когда-то узнали. Но то обстоятельство, что не всякий человек может понять математическое рассуждение, когда ему его изла­гают, кажется совершенно удивительным. И тем не менее людей, кото­рые лишь с большим трудом воспринимают эти рассуждения, большин­ство; опыт учителя средней школы подтверждает это.

И далее, как возможна ошибка в математике? Нормальный разум не должен совершать логической ошибки, и тем не менее есть очень тон­кие умы, которые не ошибутся в коротком рассуждении, подобном тем,

'^: Хрестоматия по обшей психологии. Психология мышления ' Пол ред. Ю.Б.Гиглго; ¹-пойтср, В.В.Петухоза. М.: Изд-по Моск. ун-та, 1981. С. Зо6-305.

Тема 21, Психология воображения

с которым ему приходится сталкиваться в обыденной жизни и котрые не способны провести или повторить без ошибки более длинные математические доказательства, хотя в конечном счете последние являются сово­купностью маленьких рассуждений, совершенно аналогичных тем, кото­рые эти люди проводят так легко. Нужно ли прибавить, что и сами хо­рошие математики не являются непогрешимыми?

Ответ, как мне кажется, напрашивается сам собой. Представим себе длинный ряд силлогизмов, у которых заключения первых служат посылка­ми следующих; мы способны уловить каждый из этих силлогизмов, и в пе­реходах от посылки к рассуждению мы не рискуем ошибиться. Но иной раз проходит много времени между моментом, когда некоторое предложение мы встречаем в качестве заключения силлогизма, и моментом, когда мы вновь с ним встретимся в качестве посылки другого силлогизма, когда много зве­ньев в цепи рассуждений, и может случиться, что предложение забыто или, что более серьезно, забыт его смысл. Таким образом, может случиться, что предложенче заменяют другим, несколько от пего отличным, или что его применяют в несколько ином смысле; и это приводит к ошибке.

Если математик должен воспользоваться некоторым правилом, ес­тественно, он сначала его доказывает и в момент, когда это доказатель­ство свежо в его памяти, он прекрасно понимает его смысл и пределы применения и поэтому не рискует его исказить. Но затем он применяет его механически, и если память его подведет, то правило может быть применено неверно. В качестве простого и почти вульгарного примера можно привести тот факт, что мы часто ошибаемся в вычислении, так как забыли таблицу умножения.

С этой точки зрения математические способности должны были бы сводиться к очень надежной памяти или к безупречному вниманию. Это качество подобно способности игрока в вист запоминать сброшенные кар­ты или на более высоком уровне — способности шахматиста, который должен рассмотреть большое число комбинаций и все их держать в памя­ти. Каждый хороший математик должен был бы быть одновременно хоро­шим шахматистом и обратно; точно так же он должен бы быть хорошим вычислителем. Действительно, так иногда случается, и, например. Гаусс был одновременно гениальным геометром и рано проявившим себя очень хорошим вы числителем.

Но есть исключения, хотя, я, пожалуй, не прав, называя это исклю­чениями, так как иначе исключения оказались бы более многочисленными, чем правила. Напротив, это Гаусс был исключением. Что касается меня, то я вынужден признать свою совершенную неспособность выполнить сложе­ние без ошибки. Я был бы. также очень плохим шахматистом, я мог бы хо­рошо рассчитать, что, совершив такой-то ход, я подвергся бы такой-то опас­ности; я рассмотрел бы много других, ходов, которые я отбросил бы по дру­гим причинам, и кончил бы тем, что совершил бы рассмотренный ход, забыв между делом об опасности, которую я раньше предвидел.

Одним оловом, у меня неплохая намять, но она недостаточна, что­бы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же она меня не подво­дит в трудном математическом рассуждении? Это, очевидно, потому, что она руководствуется общей линией рассуждения. Математическое рас­суждение не есть простая совокупность силлогизмов: это силлогизмы, помещенные в определенном порядке, и порядок, в котором эти элемен­ты расположены, гораздо более важен, чем сами элементы. Если я чув­ствую этот порядок, так что вижу все рассуждение в целом, то мне не страшно забыть один из элементов: каждый из них встанет на место, которое ему приготовлено, причем без всякого усилия со стороны памя­ти. Когда я изучаю некоторое утверждение, мне кажется, что я сам мог бы его открыть, или, вернее, я переоткрываю его во врелтя изучения.

Отсюда можно сделать вывод, что это интуитивное чувство матема­тического порядка, которое позволяет нам угадать гармонию и скрытые соотношения, доступно не всем людям. Одни не способны к этому деликат­ному и трудному для определения чувству и не обладают памятью и вни­манием сверх обычных; и они совершенно неспособны понимать серьезную математику; таковых большинство. Другие обладают этим чувством в ма­лой степени, но они имеют хорошую память и способны на глубокое вни­мание. Они запомнят наизусть детали одну за другой, они смогут понять математику и иногда ее применять, но они не способны творить. Наконец, третьи в большей или меньшей степени обладают тон специальной интуи­цией, о которой я говорил, и они могут не только понимать математику, но и творить в ней и пытаться делать открытия, несмотря на то, что их память не представляет собой ничего особенного.

Что же такое в действительности изобретение в математике? Оно со­стоит не в том, чтобы создавать новые комбинации из уже известных ма­тематических фактов. Это мог бы делать любой, но абсолютное большин­ство таких комбинаций не представляло бы никакого интереса. Творить — это означает не создавать бесполезных комбинаций, а создавать полезные, которых ничтожное меньшинство. Творить - это уметь распознавать, уметь выбирать такие факты, которые открывают нам связь между зако­нами, известными уже давно, но ошибочно считавшимися не связанными друг с другом.

Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто ока­зываются те, которые составлены из элементов, взятых из очень далеких друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для того, чтобы сделать открытие, достаточно сопоставить как можно более разношерстные фак­ты; большинство комбинаций, образованных таким образом, было бы совершенно бесполезными, но зато некоторые из них, хотя и очень ред­ко, бывают наиболее плодотворными из всех.

Изобретение - это выбор; впрочем, это слово не совсем точно, здесь приходит в голову сравнение с покупателем, которому предлагают большое количество образцов товаров, и он исследует их один за другим,

чтобы сделать свой выбор. В математике образцы столь многочисленны, что всей жизни не хватит, чтобы их исследовать. Выбор происходит не таким образом. Бесплодные комбинации даже не придут в голову изоб­ретателю. В поле зрения его сознания попадают лишь действительно по­лезные комбинации и некоторые другие, имеющие признаки полезных, которые он затем отбросит. Все происходит так, как если бы ученый был экзаменатором второго тура, который должен экзаменовать лишь канди­датов, успешно прошедших испытания в первом туре.

Настало время продвинуться намного вперед и посмотреть, что же происходит в самой душе математика. Я полагаю, что лучшее, что мож­но для этого сделать, это провести собственные воспоминания. Я припом­ню и расскажу вам, как я написал первую свою работу об автоморфных функциях. Я прошу прощения за то, что буду вынужден употреблять специальные термины, но это не должно вас пугать, так как вам их по­нимать совсем не обязательно. Я, например, скажу, что при таких-то об­стоятельствах нашел доказательство такой-то теоремы; эта теорема полу­чит варварское название, которое многие из вас не поймут, но это не важно: для психолога важна не теорема, а обстоятельства.

В течение двух недель я пытался доказать, что не может существо­вать никакой функции, аналогичной той, которую я назвал впоследствии автоморфной. Я был, однако, совершенно не прав; каждый день я садил­ся за рабочий стол, проводил за ним час или два, исследуя большое чис­ло комбинаций, и не приходил ни к какому результату.

Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились, я чувствовал, как они сталкиваются, пока две из них не соединились, чтобы образовать устойчивую комбина­цию. К утру я установил существование одного класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло только несколько часов. Я хотел пред­ставить эти функции в виде отношения двух рядов, и эта идея была со­вершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эл­липтическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами долж­ны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными.

В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять уча­стие в геологической экскурсии. Перипетии этого путешествия застави­ли меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус, для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея, без всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразо­ваниям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я не сделал проверки, так как, с трудом сев в омнибус, я тотчас же продолжил нача­тый разговор, но я уже имел полную уверенность в правильности сделан-

Пуанкаре А, Математическое творчество 683

ного открытия. По возвращении в Кан я на свежую голову проверил найденный результат.

В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозре­вая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследовани­ям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другой вещи. Однажды, когда я прогуливался по берегу, мне так же внезапно, быстро и с той же мгно­венной уверенностью пришла на ум мысль, что арифметические преоб­разования квадратичных форм тождественны преобразованиям неевкли­довой геометрии.

Возвратившись в Кан, я думал над этим результатом, извлекая из него следствия; пример квадратичных форм мне показал, что существу­ют автоморфные группы, отличные от тех, которые соответствуют гипер­геометрическому ряду; я увидел, что могу к ним применить теорию тета-автоморфных функций и что, следовательно, существуют автоморфные функции, отличающиеся от тех, которые соответствуют гипергеометри­ческому ряду, — единственные, которые я знал до тех пор.

Естественно, я захотел построить все эти функции; я предпринял систематическую осаду и успешно брал одно за другим передовые укреп­ления. Оставалось, однако, еще одно, которое держалось и взятие кото­рого означало бы падение всей крепости. Однако сперва ценой всех моих усилий я добился лишь того, что лучше понял, в чем состоит трудность проблемы, и это уже кое-что значило. Вся эта работа была совершенно сознательной.

Затем я переехал в Мон-Валерьян, где я должен был продолжать военную службу. Таким образом, занятия у меня были весьма разнооб­разны. Однажды, во время прогулки по бульвару, мне вдруг пришло в голову решение этого трудного вопроса, который меня останавливал. Я не стал пытаться вникать в него немедленно и лишь после окончания службы вновь взялся за проблему. У меня были все элементы и мне ос­тавалось лишь собрать их и привести в порядок. Поэтому я сразу и без всякого труда полностью написал эту работу.

Я ограничусь лишь этим одним примером. Бесполезно их умножать, так как относительно других моих исследований я мог бы рассказать вещи, совершенно аналогичные.

То, что вас удивит прежде всего, это видимость внутреннего озаре­ния, являющаяся результатом длительной неосознанной работы; роль этой бессознательной работы в математическом изобретении мне кажет­ся несомненной. Часто, когда работают над трудным вопросом, с перво­го раза не удается ничего хорошего, затем наступает более или менее длительный период отдыха и потом снова принимаются за дело. В тече­ние первого получаса дело вновь не двигается, а затем вдруг нужная идея приходит в голову. Можно было бы сказать, что сознательная работа ста-

ла более плодотворной, так как была прервана и отдых вернул уму силу и свежесть. Но более вероятно предположить, что этот отдых был -запол­нен бессознательной работой и что результат этой работы внезапно явил­ся математику точно так, как это было в случае, который я рассказы­вал; только озарение вместо того, чтобы произойти во время прогулки или путешествия, происходит во время сознательной работы, но совер­шенно независимо от этой работы, которая, самое большее, играет роль связующего механизма, переводя результаты, полученные во время от­дыха, но оставшиеся неосознанными, в осознанную форму.

Есть еще одно замечание по поводу условий этой бессознательной работы: она возможна или, по крайней мере, плодотворна лишь в том слу­чае, когда ей предшествует и за ней следует сознательная работа. Приве­денный мной пример подтверждает, что эти внезапные вдохновения про­исходят лишь после нескольких дней сознательных усилий, которые каза­лись абсолютно бесплодными, и когда кажется, что выбран совершенно ошибочный путь. Эти усилия, однако, пустили в ход бессознательную ма­шину, без них она не пришла бы в действие и ничего бы не произвела.

Необходимость второго периода сознательной работы после озаре­ния еще более понятна. Нужно использовать результаты этого озарения, вывести из них непосредственные следствия, привести в порядок дока­зательство. Но особенно необходимо их проверить. Я вам уже говорил о чувстве абсолютной уверенности, которое сопровождает озарение; в рас­сказанных случаях оно не было ошибочным, но следует опасаться уве­ренности, что это правило без исключения; часто это чувство нас обма­нывает, не становясь при этом менее ярким, я заметить это можно лишь при попытке строго сознательно провести доказательство. Особенно я наблюдал такие факты в случае, когда идеи приходят в голову утром или вечером в постели, в полусознательном состоянии.

Таковы факты. Рассмотрим теперь выводы, которые отсюда следуют. Как вытекает из предыдущего, или мое «бессознательное Я», или, как это называют, мое подсознание, играет основную роль в математическом твор­честве. Но обычно рассматривают подсознательные процессы как явления, протекающие чисто автоматически. Мы видим, что работа математика не является просто механической и ее нельзя было бы доверить машине, сколь бы совершенной она ни была. Здесь дело не только в том, чтобы со­здавать как можно больше комбинаций по некоторым известным законам. Истинная работа ученого состоит в выборе этих комбинаций, так чтобы исключить бесполезные или, вернее, даже не утруждать себя их создани­ем. И правила, которыми нужно руководствоваться при этом выборе, пре­дельно деликатны и тонки, их почти невозможно выразить точными сло­вами; они легче чувствуются, чем формулируются; как можно при таких условиях представить себе аппарат, который их применяет автоматически?