Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Решение. Запишем матричное уравнение в виде системы линейных уравнений






    А = , В = , V = .

    Запишем матричное уравнение в виде системы линейных уравнений

    Система крамеровского типа имеет единственное решение линия имеет единственный центр. После параллельного переноса начала системы координат в этот центр

    уравнение линии примет вид

    Совершим преобразование Y = QZ (поворот системы координат), приводящее квадратичную форму f = к каноническому виду. В ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства R 2существует и притом единственный линейный оператор , имеющий в этом базисе матрицу А = квадратичной формы f. Так как матрица А симметрична, то линейный оператор симетрический и существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Матрица перехода от базиса к базису и есть искомая матрица Q.

    Составим и решим характеристическое уравнение матрицы А:

    или

    Его корни После применения ортогонального преобразования Y = QZ к уравнению оно примет вид

    .

    Это каноническое уравнение гиперболы.

    Найдем матрицу Q ортогонального преобразования переменных. Для этого прежде всего надо найти собственный вектор f принадлежащий собственному значению . Ищем ненулевые решения СЛАУ или

    .

    Общее решение системы любое число. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, f 1 = . Пронормировав его, получим . Аналогично найдем собственный вектор f принадлежащий собственному значению Это, например, f 2 = . Векторы образуют ортонормированный базис R 2, составленный из собственных векторов линейного оператора. Матрица ортогонального преобразования Q составляется из координатных столбцов векторов :

    Q = .

    Выпишем линейное преобразование переменных, приводящее уравнение к каноническому виду

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.