Решение. Запишем матричное уравнение в виде системы линейных уравнений

А = , В = , V = .

Запишем матричное уравнение в виде системы линейных уравнений

Система крамеровского типа имеет единственное решение линия имеет единственный центр. После параллельного переноса начала системы координат в этот центр

уравнение линии примет вид

Совершим преобразование Y = QZ (поворот системы координат), приводящее квадратичную форму f = к каноническому виду. В ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства R ²существует и притом единственный линейный оператор , имеющий в этом базисе матрицу А = квадратичной формы f. Так как матрица А симметрична, то линейный оператор симетрический и существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Матрица перехода от базиса к базису и есть искомая матрица Q.

Составим и решим характеристическое уравнение матрицы А:

или

Его корни После применения ортогонального преобразования Y = QZ к уравнению оно примет вид

.

Это каноническое уравнение гиперболы.

Найдем матрицу Q ортогонального преобразования переменных. Для этого прежде всего надо найти собственный вектор f принадлежащий собственному значению . Ищем ненулевые решения СЛАУ или

.

Общее решение системы любое число. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, f ₁ = . Пронормировав его, получим . Аналогично найдем собственный вектор f принадлежащий собственному значению Это, например, f ₂ = . Векторы образуют ортонормированный базис R ², составленный из собственных векторов линейного оператора. Матрица ортогонального преобразования Q составляется из координатных столбцов векторов :

Q = .

Выпишем линейное преобразование переменных, приводящее уравнение к каноническому виду