Доказательство. Умножая обе части матричного равенства на матрицу ХТ (транспонированную по отношению к X) слева, в правой части получим f : ХТ AX=f.

АХ = .

Умножая обе части матричного равенства на матрицу Х^Т (транспонированную по отношению к X) слева, в правой части получим f: Х^Т AX=f.

Следствие.f=(AX, X)

8.3. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Опр.Квадратичная форма имеет канонический вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, т. е. .

Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с помощью преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Матрица А квадратичной формы симметрична, а для симметрического оператора всегда существует n собственных чисел, и, соответственно, n собственных векторов. Отсюда следует, что в новом базисе, составленном из этих собственных векторов, матрица оператора будет диагональной. Мы показали, что существует матрица Q, составленная из ортогональных собственных векторов А такая, что матрица Q^{- 1} AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицей Q, мы приведем ее к каноническому виду. ■

Следствие Квадратичная форма с помощью преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.

Доказательство. f=(AX, X), матрица А в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид с собственными числами на главной диагонали.

Получили следующий алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду:

1) Построить матрицу квадратичной формы.

2) Найти собственные числа и векторы, записать квадратичную форму (коэффициентами при квадратах новых переменных будут найденные собственные числа).

3) Нормировать собственные векторы и записать матрицу перехода от старого базиса к новому (а именно, состоящему из найденных векторов).

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l₁ = 2, l₂ = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая

m₁ = 1, получим n₁ =

полагая

m₂ = 1, получим n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Кривая является эллипсом с полуосями

Матрица ортогонального преобразования Q составляется из координатных столбцов векторов :

Q = .

Легко проверить, что это матрица оператора поворота на

по часовой стрелке.

Выпишем линейное преобразование переменных, приводящее уравнение к каноническому виду (см.7.1.)

Остается схематично изобразить фигуру.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у² + 16 = 0

Коэффициенты: a₁₁ = 0; a₁₂ = 2; a₂₂ = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l₁ = -1, l₂ = 4.

Для l₁ = -1 Для l₂ = 4

m₁ = 1; n₁ = -0, 5; m₂ = 1; n₂ = 2;

= (1; -0, 5) = (1; 2)

Получаем: -каноническое уравнение гиперболы.

Матрица преобразования Q составляется из координатных столбцов векторов :

Q = .

Легко проверить, что это матрица оператора поворота на

острый угол по часовой стрелке.

Выпишем линейное преобразование переменных, приводящее уравнение к каноническому виду (см.7.1.)

Остается схематично изобразить фигуру

Канонический вид квадратичных форм используется для определения типа уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х₂) = 27 .

Коэффициенты: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l² - 30l + 56 = 0

l₁ = 2; l₂ = 28;

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x² + 12xy + 8y² – 20 = 0.

Коэффициенты а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l² – 36 = 0

l² - 25l + 100 = 0

l₁ = 5, l₂ = 20.

Итого: - каноническое уравнение эллипса.