Пересечение прямой с плоскостью

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р. то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую АВ проводят любую вспомога­тельную плоскость Q. Для упрощения построен плоскость Q обычно берется проецируют (рис. 114, а). В данном случае проведена вспомо­гательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию ab прямой AB проводят горизонтальный след Q_H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью х в точке Q _Х - Из точки Q _Хк оси х восставляют перпендикуляр Q _Х Q _Vкоторый будет фронтальным следом Q _Vвспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов Р _Vи Q _V – точку v´ и следов Р _Hи Q_H – точку h, опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых – точки v' и h ' – будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v ' и h', получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AВ инайденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фрон­тальная проекция т' этой точки расположена на пересечении проекций а'b' и v'h'. Горизонтальную проекцию т точки М находят, проводя вертикаль-

ную линию связи из точки т' до пересечения с ab.

Еслиплоскость задана не следами, а плоской фигурой, например треугольником (рис. 114, б), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника ABC находят следующим образом.

Через прямую MN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р. Для этого через точки т' и n' проводят фронтальный след плоскости Р _V.продолжают его до оси х и из точки пересечения следа плоскости Р _Vс осью х опускают перпендикуляр Р_Н , который будет горизонтальным следом плоскости следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC.

Фронтальная проекция e'd´ линии ED совпадает с m´ n´. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е ´ и

d' до встречи с проекциями ab и ас сторон треу­гольника ABC. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией тп прямой MN находят горизонтальную проекцию к искомой точки К. Проведя из точки к вертикальную ли­нию связи, находят фронтальную проекцию к'. Точка К – искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника ABC.

В частном случае прямая АВ может быть пер­пендикулярна плоскости Р. Из условия перпенди­кулярности прямой к плоскости следует, что пря­мая перпендикулярна плоскости, если она перпен­дикулярна двум пересекающимся прямым, лежа­щим на этой плоскости (в частности, этими пря­мыми могут быть следы плоскости). Тогда проек­ции прямой АВ будут перпендикулярны однои­менным следам этой плоскости (рис. 115, а). Фронтальная проекция а'b' перпендикулярна фронтальному следу Р _V, а горизонтальная проек­ция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р _Нплоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпен­дикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником ABC, необходимо опус­тить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d' точки D опускают перпендикуляры соответственно на се и f'd'. Прямая, проведенная из точки D, будет перпендикулярна плоскости треугольника ABC.