Экономическая интерпретация двойственности

Задача торга.

Рассмотрим один цикл работы предприятия с технологической матрицей А, векторами удельных прибылей ͞ c и запасов ресурсов ͞ b. Соответствующая задача оптимального планирования в развернутой форме:

(1)

Предположим, что к Владельцу предприятия пришел Покупатель и предложил продать ему все или часть ресурсов, запасенных Владельцем. Почему бы и нет? В нормальной экономике не может быть категорических отказов, все дело в цене. Начинается торг вокруг цен на ресурсы или, лучше сказать, оценок ресурсов, потому что торг происходит не на рынке, и мало ли какие соображения могут быть и у Владельца и у Покупателя. Обозначим оценку i- горесурса через . Покупатель сразу же обозначил свою цель – заплатить поменьше, т.е.

Однако у Владельца свои резоны. Посмотрите, говорит он, за единицу -й продукции я получу прибыль , истрачу на производство единицы этой продукции единиц различных ресурсов, поэтому разумно так оценить ресурсы, чтобы .

И это должно быть верно для всех видов продукции.

Сведем вместе все аргументы Владельца и Покупателя и получим новую ЗЛП:

(2)

Она называется двойственной к исходной задаче (1), а вместе эти 2 задачи и образуют задачу торга. Заметим, что каждому ограничению исходной задачи, т.е. каждому ресурсу, поставлена в соответствие двойственная переменная. Из дальнейшего будет ясно, что обе задачи имеют оптимальные решения. Оптимальное значение двойственной переменной, соответствующей данному ресурсу, называется двойственной оценкой ресурса.

Экономическое содержание теории двойственности.

Центральный вопрос, который рассматривается в этой теории, - это вопрос о ценности ресурса. Но ценности его не рыночной, а исключительно с внутренней точки зрения данного предприятия, с точки зрения эффективного использования этого ресурса в сложившейся структуре производства, определяемой технологической матрицей и удельными прибылями. При этом оценка ценности производится только в процессе использования ресурса в одном цикле производства. Это является элементом условности, абстрактности, не совсем отражающим реальность.

Из всего этого вытекает следующая основополагающая оценка ценности ресурса – сколько прибыли может принести вовлечение в производство еще одной единицы данного ресурса? Конкретно это означает следующее. Рассмотрим задачу оптимального планирования с данными вектором запасов ресурсов . Найдем максимальную прибыль. Найдем оптимальное решение двойственной задачи . Как уже указывалось ранее, оптимальные значения переменных двойственной задачи называются двойственными оценками ресурсов. Именно двойственные оценки ресурсов и есть мера их ценности с рассматриваемой точки зрения, как раз это утверждает теорема 3.10. Действительно, в условиях теоремы добавочное вовлечение в производство одной единицы i -го ресурса увеличивает максимальную прибыль как раз на величину двойственной его оценки.

Теорема 3.10 утверждает и еще одну важную вещь. Всякое изменение ассортимента выпускаемой продукции болезненно для производства – надо искать покупателей новых видов продукции и как-то объясняться с покупателями тех видов продуктов, которые не будут выпускаться; необходимо перестроить производство – часть станков законсервировать, а другую часть наладить, переучить рабочих и т.д. Однако теорема 3.10 утверждает, что в определенных условиях, при изменении величины запасов, ассортимент выпускаемой продукции не изменится, произойдут лишь некоторые количественные изменения.

Теперь обратимся к экономическому смыслу теоремы 3.5 (нежёсткости) теории двойственности. Опять рассмотрим исходную задачу оптимального планирования, ее оптимальный план и двойственную задачу с ее оптимальным планом . Взглянем теперь на четвёртую группу соотношений из (3.30). Назовем j- ю технологию невыгодной, если > . Смысл названия понятен – эта технология не извлекает из ресурсов того, что «в них содержится»: с одной единицы продукции, сделанной по данной технологии, получается прибыль , а потраченные при этом ресурсы оцениваются в , т.е. больше. На основании теоремы нежёсткости, если > , то = 0, т.е. в оптимальном плане ни одна невыгодная технология не используется!

А о чем говорят соотношения: если то y_i^* = 0,? Их смысл тоже очень ясен. Если в оптимальном плане данный ресурс используется не полностью, если он остался в ненулевом количестве, то его двойственная оценка равна нулю. Не он сдерживает получение еще большей прибыли – ведь его запас не исчерпан. Ресурс с положительной двойственной оценкой называют еще узким местом производства. Соотношения: если y_i^* > 0, то

утверждают, что ресурс, являющийся узким местом производства, обязательно полностью используется в оптимальном плане.

Прокомментируем еще с экономической точки зрения основное неравенство теории двойственности: для любых допустимых решений пары двойственных задач. Это неравенство можно трактовать так: если мы согласны с аргументами Владельца, что потраченные на производство одной единицы продукции ресурсы должны оцениваться не меньше, чем полученная от реализации этой единицы продукции прибыль, то никакой допустимый план производства не может извлечь из запасенных ресурсов больше, чем их суммарная оценка; т.е. больше, чем «в них содержится».

Ну, а теорема 3.3 двойственности утверждает, что только оптимальный план извлекает из ресурсов в точности столько, сколько в них содержится.