Понятие оценок параметров

Для увеличения точности измерений, при наличии случайных погрешностей, следует производить не однократное наблюдение измеряемой величины, а многократное. Принято называть значение величины, полученное при отдельном наблюдении, результатом наблюдения, а среднее арифметическое группы результатов наблюдений – результатом измерения. При наличии систематических погрешностей D_сист необходимо в результаты наблюдений предварительно ввести поправки. Для этого от измеренных значений Х_i^изм надо перейти к исправленным значениям Х_i^испр=Х_i^изм-D_сист. (Как известно из теории вероятностей, этот переход всегда целесообразно выполнять потому, что либо 1) для исправленных значений при заданном доверительном интервале D_{1, 2} величина доверительной Р_Д вероятности выше, чем для неисправленных значений, мат. ожидание которых смещено относительно истинного значения Х_Д на величину систематической погрешности D_сист; либо 2) при заданной доверительной вероятности Р_Д доверительный интервал D_{1, 2}для исправленных значений будет меньше, чем для неисправленных значений.)

В последующих расчетах будем полагать, что систематические погрешности исключены D_сист=0. В этом случае результат измерений Х равен среднему арифметическому для n значений отдельных наблюдений: (4.1)

где n-число измерений; Х _i – результат i –го наблюдения.

Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет тем выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений. Рассеивание результатов наблюдений характеризуется величиной s - средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений. При ограниченном числе наблюдений определить точное значение СКО невозможно. Наилучшее приближение к СКО (s) называется оценкой СКО (). Если известно действительное значение измеряемой величины Х_Д, то оценка СКО результатов наблюдений находится по формуле (4.2)

где

При неизвестном Х_Д вместо действительного значения измеряемой величины Х_Д используется среднеарифметическое значение и тогда оценка определяется по формуле

(4.3)

Здесь - случайное отклонение результата наблюдений от среднеарифметического значения

(4.4)

Иногда называют остаточной погрешностью.

Аналогично можно охарактеризовать рассеивание результатов измерений. С этой целью вводится параметр , называемый оценкой СКОрезультатов измерения. Введение этой оценки обусловлено тем, что практически мы вычисляем оценку СКО и среднее значение на основе конечного числа результатов измерений. Оно отличается от истинного, действительного значения Х_Д, (за которое, при отсутствии систематической погрешности, принимается мат. ожидание при n®¥), на величину , которая также является случайной величиной и может меняться при добавлении следующих результатов измерений (n+1), (n+2)…(n+k) –го. Добавление этих данных гораздо меньше изменяет и при n®¥ l®0, а стремится к мат ожиданию.

Если случайные погрешности отдельных результатов измерения подчиняются НЗР, то и погрешности средних значений их повторных рядов также подчиняются НЗР, но уже с другим рассеиванием (дисперсией). Рассеивание средних значений меньше, чем рассеивание результатов отдельных измерений.

Оценки СКО результатов измерений и наблюдений связаны соотношением (4.5)

Таким образом, СКО результатов измерений с ростом числа наблюдений в группе уменьшается в раз (рис. 4.1). Например, при 9 наблюдениях СКО результата измерений будет втрое меньше, чем при однократном наблюдении. Поэтому при точных измерениях обычно производятся многократные наблюдения.

Оценка лишь косвенно характеризует погрешность результата измерений. Однако связь между и погрешностью не однозначная и зависит от числа наблюдений n (Рис. 4.1), а так же от функции распределения случайных погрешностей. Более наглядной и информативной характеристикой погрешности является значение ее доверительных границ.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерений

D_{1, 2} - это границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью Р_Д случайную погрешность измерения.

При НЗР случайных погрешностей доверительные границы связаны с оценкой СКО результата измерений соотношением:

D_{1, 2}= ± t (4.6)

где t- коэффициент Стьюдента, который зависит от двух параметров: числа наблюдений n в группе выбранной доверительной вероятности Р_Д. Рекомендуется вероятность Р_Дпринимать равной 0.95, а в особо ответственных случаях Р_Д= 0.99 и выше.

Рассмотренные выше оценки результата измерения, выражаемые одним числом, называются точечными оценками. Например: Х_Д = или (4.7)

Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку она указывает на границы интервала, в котором может находиться значение Х_Д, но ничего не говорит о вероятности попадания Х_Д в этот интервал. Точечная оценка позволяет сделать лишь некоторые выводы о точности проведенных измерений.

При интервальной оценке определяется доверительный интервал ±D_{1, 2}, между границами которого с определенной вероятностью Р _Д находится истинное значение оцениваемого параметра (например, действительное значение Х_Д). Задавшись значением доверительной вероятности Р_Дпри НЗР и n®¥ определяют интервал (в долях s)

D_{1, 2} =ks (4.8)

Полезно помнить следующие значения k для НЗР для различных значений Р_Д (табл.4.1) для n®¥

Таблица 4.1

Значения k для НЗР для различных значений Р_Д для n®¥

Если число измерений ограничено (n¹ ¥), то значение СКО s заменяется его оценкой , определяемой по формуле (4.3). При малом числе измерений n значения доверительного интервала ± D_{1, 2} =±ks корректируются с помощью распределения Стьюдента по формуле

±D_{1, 2} =±t (4.9)

Как видно из табл. 4.2, границы доверительного интервала расширяются по мере уменьшения числа наблюдений n. С ростом n коэффициент Стьюдента t

стремится к своему теоретическому значению k (для n ®¥) при заданной Р_Д.

Таблица 4.2

Значения коэффициентов Стьюдента для Р_Д= 0.95 и Р_Д= 0.99

Остановимся более подробно на понятии интервальных оценок.

Здесь необходимо понимать принципиальную разницу между доверительными интервалами, определенными по (4.6) и по (4.9) или (4.8), хотя эти формулы внешне почти одинаковы.

Смысл доверительного интервала ± D_{1, 2} =±t , определенного по (4.9) для n¹ ¥ и стремящегося к ±D_{1, 2} =±ksпри n®¥, состоит в том, что с заданной вероятностью Р_Д результат i-того наблюдения попадет в доверительный интервал ±D_{1, 2}, который с ростом n не меняется, так как ®s.

Смысл доверительного интервала D_{1, 2} =t состоит в том, что результат измерения, за который принимается среднеарифметическое значение , попадет с заданной вероятностью Р _Д в этот доверительный интервал, который с ростом n бесконечно сужается вокруг мат. ожидания, к которому стремится среднеарифметическое. Рассчитанный по формуле (4.6) интервал D_{1, 2}указывает лишь «коридор» колебаний при малом числе измерений n, который стремится к нулю при n®¥, когда средне арифметическое стремится к мат. ожиданию, а ®0 и D_{1, 2}®0 (рис.4.1).

Запись результата измерения в виде

Х_Д= ±D_{1, 2} (4.10),

где D_{1, 2} =t , означает, что итог измерения не есть одно определенное число. В результате измерения мы получаем лишь некую «полосу значений измеряемой величины с несколько расплывчатыми границами».

Суть описанной ситуации прекрасно передал П.М. Тиходеев в своей книге: «Очерки об исходных измерениях». М.: Машгиз, 1954. Он писал: «Смысл итога измерений, например L=20, 00±0, 05, заключается не в том, что L=20, 00, как для простоты считают и как это чаще всего приходится с неизбежностью принимать для последующего применения и расчетов; смысл в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19, 95 до 20, 05 и вовсе необязательно, чтобы оно лежало в середине, а не где-нибудь с краю. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хотя и может быть очень маловероятным.»

Пример. Произведено четырехкратное измерение сопротивления катушки. Определить результат измерения и доверительную границу погрешности результата измерения при Р_Д= 0.99.

Таблица 4.3

Результат наблюдения Ом	Отклонения результата Наблюдений, Ом	Квадраты отклонения результата наблюдений, Ом2
100, 078	-0.0008	64 * 10-8
100.0084	-0.0002	4 * 10-8
100.0087	+0.0001	1 * 10-8
100.0095	+0.0009	81 * 10-8

1. Определяем среднеарифметическое четырех наблюдений по формуле:

2. Находим случайные отклонения результатов наблюдений по формуле . Для самопроверки определяем сумму случайных отклонений. Она всегда должна равняться нулю.

3. Возводим случайные отклонения в квадрат и находим их сумму:

4. Находим оценку результата СКО по формуле (4.3). Получим:

5. Определяем оценку СКО результата измерения по формуле (4.5).

Получим:

6. По табл. 4.2 значений коэффициента Стьюдента для n= 4 и Р_Д = 0.99 находим t=5.84

7. Определяем доверительные границы погрешности результата измерения по формуле (4.6). Получим: D_1.2=±5.84 * 3.6*10^-4 =±0.0021 Ом

Результат измерения запишется в виде: R=100.0086 ±0.0021 Ом при Р_Д=0.99.

Если бы мы задались меньшей доверительной вероятностью, например Р_Д=0.95, то получили бы несколько другой доверительный интервал. В этом бы случае найденный по табл. 4.2 коэффициент Стьюдента для n = 4 и Р_Д = 0.95 был бы равен t=3.18 и доверительный интервал D_1.2равнялся бы величине D_1.2=±3.18 * 3.6*10^-4 =±0.0011 Ом. Результат измерения запишется в виде: R=100.0086 ±0.0011 Ом при Р_Д=0.95.