Модель Шарпа

Предложенный Марковицем алгоритм построения границы эффективных портфелей позволяет, в принципе, находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимых для определения наилучшего сочетания весов xi каждой ценной бумаги.

Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых доходностей Ei каждой ценной бумаги, n значений ожидаемого риска σ i, 2 n · (n − 1) значений попарных ковариаций ценных бумаг в портфеле и т. д.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий значительно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe singleindex model). В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессион- ного анализа1, позволяющий связать две случайные величины: независимую X и зависимую Y линейным выражением вида

Y = α + β · X. (2.9)

В модели Шарпа независимой переменной обычно считается величина какого-либо рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т. п.

Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность r_m, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S& P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-либо i-й ценной бумаги. Поскольку часто индекс S& P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность r_m — доходностью ры- ночного портфеля.

Пусть доходность в течение T расчетных интервалов принимает случайные значения rm(t): rm(1), rm(2), …, rm(T). При этом доходность i-й ценной бумаги имела значения ri (t): ri (1), ri (2), …, ri (T). Тогда линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm(t) и ri (t) в следующем виде:

ri (t) = α i + β i · rm(t) + ε i (t), (2.10)

где α i — постоянная составляющая линейной регрессии, называемая “альфа” и показывающая, какая часть доходности i-й ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm(t);

β i — параметр линейной регрессии, называемый “бета” и показывающий чувствительность доходности i-й ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

ε i (t) — случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные значения rm(t) и ri (t) отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение имеет параметр бета β i, поскольку он определяет чувствительность доходности i-й ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если β i ≥ 1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная и подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm(t). Соответственно при β i < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности ri (t) от ожидаемой величины Ei, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом β i ≥ 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с β i < 1 — менее рискованными. При этом, как показывают исследования, для большинства ценных бумаг β i > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной β i.

Для нахождения параметров модели α i и β i по результатам исторического анализа фондового рынка используется метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу в качестве оценок искомых параметров берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок ε i (t). На точность рассматриваемой регрессионной модели оказывает значительное влияние разброс ошибки ε i (t), которую можно оценить с помощью дисперсии, i 2 σ ε, вычисляемой по формуле

очевидно, что квадрат коэффициента корреляции является мерой оценки точности уравнения линейной регрессии. Теперь рассмотрим, как с помощью рыночной модели Шарпа можно осуществлять построение границы эффективных портфелей и нахождение оптимального портфеля и при этом значительно сократить объемы вычислений по сравнению с моделью Марковица без заметного ухудшения результирующих характеристик.

Вначале заметим, что для применимости метода линейной регрессии, положенного в основу модели Шарпа, необходимо выполнение следующих условий:

1) математическое ожидание случайных ошибок Ei (ε) = 0 для всех ценных бумаг портфеля, т. е. для i = 1, 2,..., n;

2) дисперсия случайных ошибок σ 2 ε, i для каждой ценной бумаги постоянна;

3) для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T интервалов величинами случайных ошибок;

4) отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле;

5) отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить следующие выражения для оценки ожидаемой доходности Ei и дисперсии σ ²_i и попарные ковариации σ _{i, j} для любых ценных бумаг в портфеле:

Таким образом, дисперсия, или риск, портфеля включает долю риска самих ценных бумаг (первое слагаемое — собственный риск) и долю риска, определяемого нестабильностью рынка (второе слагаемое — рыночный риск).

В модели Шарпа задача заключается в том, чтобы найти такие весовые коэффициенты (x1, x2, …, xn) ценных бумаг, включаемых в портфель, которые минимизируют дисперсию портфеля при следующих начальных условиях:

Алгоритм построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа включает выполнение следующих операций:

1) выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в T шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri (t) каждой ценной бумаги;

2) по рыночному индексу вычислить рыночные доходности rm(t) для того же промежутка времени;

3) определить величины β i: σ 2, m i m i σ σ β =;

4) найти параметры α i = Ei – β i • Em;

5) вычислить дисперсии σ 2 ε, i ошибок регрессионной модели;

6) подставить эти значения в уравнения (2.17)–(2.19).

После такой подстановки очевидно, что неизвестными величинами являются веса xi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель. Таким образом, модель Шарпа позволяет разделить портфельный риск на систематический (или рыночный) и несистематический.

Для обычной акции систематический риск всегда связан с изменениями в стоимости ценных бумаг, находящихся в обращении на рынке. Иначе говоря, доходность одной акции постоянно колеблется вокруг средней доходности всего актива ценных бумаг. Этого никак не избежать, поскольку действует слепой механизм рынка. Несистематический риск связан с влиянием всех остальных факторов, специфических для корпорации, выпускающей в обращение ценные бумаги. Важным свойством систематического риска является то, что увеличение количества акций или облигаций не способно ликвидировать его.

Однако растущая покупка ценных бумаг может повлечь за собой устранение несистематического риска. Отсюда следует, что вкладчик не может избежать риска, связанного с колебаниями конъюнктуры фондового рынка. Задача при формировании рыночного портфеля заключается в уменьшении риска путем приобретения различных ценных бумаг.

Делается это так, чтобы факторы, специфические для отдельных корпораций, уравновешивали друг друга. Благодаря этому доходность портфеля приближается к средней для всего рынка.