Невырожденные матрицы. Критерий существования обратной матрицы.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема ( единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А, В, С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

13. Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители: