Получение обратной матрицы с помощью присоединенной.

Предположим, что матрица A - неособенная и рассмотрим метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками.

В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:

1. Умножение строки на любое ненулевое число.
2. Прибавление к одной строке любой другой, предварительно умноженной на любое число.

Алгоритм метода чрезвычайно прост по своей сути.

Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы E:

Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B).

С формальной точки зрения такие преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц (матрицы перестановки, матрицы масштабирования, неунитарной матрицы):

TA = E.

Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы A:

T = A ^-1.

Тогда TE = A ^-1 и, следовательно,

ПРИМЕР: Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~ . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
.