Квантовый эффект Холла.

В наше время термин «Эффект Холла» нельзя считать удачным или ясным, т.к. стало известно о нескольких разновидностях этого эффекта, отражающих разные особенности поведения электронов в сильном магнитном поле. Более того, появилась информация о «Абсолютной отрицательной проводимости» в магнитном поле, физическая природа которой неясна (есть данные, что в полупроводниковых переходах, находящихся при низких температурах в сильном магнитном поле электроны движутся не в сторону положительных зарядов или положительного контакта батареи, а в противоположную сторону). Это заставляет особенно пристально изучать влияние магнитного поля на движение электронов.

Первоначальные наблюдения эффекта Холла были сопоставлены с классической моделью (мы уже обсуждали этот эффект ранее). Суть эффекта связывалась с действием на носители заряда (электроны или дырки) силы Лоренца. Особенность этой силы состоит в том, что, независимо от знаков зарядов, при направлении тока «слева направо» поперек магнитного поля, направленного «от нас», сила направлена «вверх». Эта сила вызывает отклонение зарядов, создающих на боковых поверхностях образца избыточные поверхностные заряды. Последние создают внутри образца поперечное электрическое поле, препятствующее дальнейшему накоплению поверхностных зарядов. Равновесие наступает, когда кулоновское отталкивание зарядов компенсирует действие силы Лоренца. В результате накопления поверхностных зарядов между боковыми поверхностями образца возникает разность потенциалов (холловская разность потенциалов, связанная с поперечной проводимостью). Неожиданность экспериментальных данных состояла в том, что в иногда разность потенциалов соответствовала отрицательному знаку носителей (носителями тока были электроны), но иногда разность потенциалов соответствовала положительным зарядам (дыркам). Особенно четко это проявлялось в полупроводниках, хотя подобное встречалось и в металлах (например, у бериллия). Холловские наблюдения дырок были важным этапом изучения проводимости полупроводников.

Приравнивая напряженность поперечного электрического поля силе Лоренца, деленной на величину заряда , можно найти (это так называемая изотропная модель эффекта Холла; в анизотропных кристаллах происходит перемешивание продольных и поперечных воздействий, и эффект становится сложнее)

, (3.5.1)

где – концентрация зарядов, – плотность тока, – полный ток.

Обычно в формулу (1) вводят коэффициент Холла,

, (3.5.2)

который не зависит от магнитного поля и является характеристикой только параметров , образца.

Сопротивление Холла, введенное в (1), равно

, (3.5.3)

где – поверхностная концентрация зарядов измеряемая в единицах .

Обычное (продольное) сопротивление слабо зависит от магнитного поля.

Уже первые наблюдения эффекта Холла в полупроводниках дали доказательства вклада в ток как электронов, так и дырок. Для объяснения этих наблюдений достаточно классической теории.

Однако эффект Холла касался движения микрочастиц и было естественно изучить этот эффект методами квантовой механики. «Намек» на то, что квантовомеханический подход может дать новую информацию об эффекте Холла, был связан с тем, что заряд в магнитном поле движется инфинитно вдоль поля и финитно – поперек поля. Это означает, что при движении вдоль поля энергия заряда не квантуется и может изменяться непрерывно, а при движении в плоскости, перпендикулярной полю, энергия должна изменяться дискретно.

Такая квантовая картина движения носителей заряда приводит к тому, что при очень низких температурах (порядка 0, 1 – 1 К) и в сильных магнитных полях возникает квантовый эффект Холла. Он состоит в том, что у холловского сопротивления (это отношение поперечного напряжения к протекающему току, которое еще называют поперечным сопротивлением) наблюдаются горизонтальные участки, так называемые плато. Значения сопротивления на этих участках оказываются равными

, (3.5.4)

где – фактор заполнения (см. ниже). Вначале наблюдались только целочисленные значения и соответствующий эффект получил название целочисленного или нормального квантового эффекта Холла. Позже был обнаружен дробный квантовый эффект Холла.

Квантовый эффект Холла не зависит от типа и качества образца. Он позволил создать эталон или стандарт сопротивления фиксированной величины = 25812, 807 Ом.

Для того чтобы упростить наблюдение и описание квантового эффекта Холла надо исключить свободное движение вдоль поля. Для этого образцы делают в виде тонких пленок или тонких слоев между двумя полупроводниками с различной проводимостью. Тогда изучают двумерный электронный газ – электроны, свободно движущиеся в плоскости . Движение вдоль оси (вдоль которой потом будет направлено магнитное поле) – движение в узкой потенциальной яме, испытывающее пространственное квантование. Поэтому без магнитного поля двумерные электроны имеют закон дисперсии

, (3.5.5)

где использовано стандартное обозначение для эффективной массы квазиэлектрона или дырки, а индекс указывает номер уровня в одномерной потенциальной яме.

При включении магнитного поля движение вдоль оси не изменяется, и слагаемое остается, а движение в плоскости квантуется. Мы уже обсуждали квантование энергии электрона в магнитном поле и знаем, что оно приводит к появлению эквидистантного набора уровней, отделенных друг от друга на квант энергии «циклотронной частоты»,

(система единиц СГС) (3.5.6а)

либо

(система единиц СИ). (3.5.6б)

Таким образом, в магнитном поле энергия носителя заряда принимает вид

, (3.5.7)

уровни, пронумерованные индексом , иногда называют уровнями Ландау.

В зависимости от положения уровня Ферми, разные уровни Ландау заполнены носителями в различной степени. Тот уровень, который лежит выше уровня Ферми, заполнен частично. Его заполнение характеризуется фактором или коэффициентом заполнения (4)

, (3.5.8)

являющееся целым или дробным числом.

При низких температурах в сильных магнитных полях Холловское сопротивление двумерного электронного газа перестает быть линейной функцией магнитной индукции (или поверхностной концентрации ), как в классическом случае, а квантуется, изменяясь на дискретные величины (4). Зависимость сопротивления приобретает вид ступенек или плато, разделенных глубокими провалами, при некоторых условиях достигающих нуля. Это означает, что при таких условиях (накладываемых на величины B и ) ток может течь без диссипации энергии (т.е. без сопротивления), напоминая явление сверхпроводимости. Такие наблюдения проводились на полупроводниковой гетероструктуре (контакт двух полупроводников с различными ширинам запрещенных зон) и дали результаты измерения с относительной погрешностью 10^-7.

Качественное объяснение таких наблюдений связано с перемещением уровня Ферми. Если уровень Ферми находится в разрешенной зоне, но между уровнями Ландау, то все заполненные уровни Ландау создают Холловское сопротивление (4). При этом движение зарядов не сопровождается их переходами (они запрещены принципом Паули), и продольное сопротивление равно нулю. Если же уровень Ферми лежит вблизи – го уровня Ландау, то есть размытие фермиевской ступеньки на величину порядка , в пределах которой возможны переходы носителей заряда. Эти переходы сопровождаются потерей энергии, что приводит к появлению сопротивления.

Такая интерпретация была впервые предложена Р. Лафлином. Но интерпретация Лафлина не дает объяснения высокой степени точности возникающего квантования. Позже Р. Лафлин дал другое, более фундаментальное объяснение квантового эффекта Холла. Это объяснение основывается на методах квантовой электродинамики и связывает целочисленный квантовый эффект Холла с изменением магнитного потока, проходящего через систему. При этом принципиальную роль приобретает скачкообразный характер изменения магнитного поля (квантование магнитной индукции, подобное тому, что наблюдается в эффекте Джозефсона, см. ниже).

В 1982 году наблюдалась иная разновидность двумерного квантового эффекта Холла – плато сопротивления наблюдались при дробных значениях фактора заполнения и других значениях . Возможное объяснение дробного квантового эффекта Холла (по Лафлину) связано с учетом межэлектронного взаимодействия частиц, находящихся на уровнях Ландау. Для объяснения этого эффекта Лафлин ввел понятие дробного заряда электрона. Интерпретация дробного квантового эффекта Холла продолжает оставаться проблематичной, а сама природа эффекта – не ясной. Известно, что наличие примесей разрушает дробный эффект Холла.