Вопрос 22.Умножение целых неотрицательных чисел. Простые задачи на умножение.

Умножение целых неотрицательных чисел и его свойства

Существует несколько подходов к определению умножения целых неотрицательных чисел в теоретико-множественной теории.

Пусть n(А)=а, n(В)=b.

Определение: Умножением целых неотрицательных чисел а и b называется

бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое

неотрицательное число с = n(АхВ).

Задача 9: Доказать, используя определение 13, что 3*2 = 6.

Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А)=3. Например, А= {?,?, •}.

2. Выберем множество В так, чтобы n(В)=2. Например, В= {0, ¦ }.

3. Построим АхВ (для этого построим множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В) и найдем пересчетом n(АхВ).

АхВ= {(?, 0), (?, 0), (•, 0), (?, ¦), (?, ¦), (•, ¦)}; n(АхВ) = 6.

5. По определению 13 получаем, что 3*2 = n(АхВ)=6.

Определение 14: Пусть имеется b равночисленных попарно непересекающихся множеств А₁ А₂, А₃,..., А_b, в каждом из которых содержится по а элементов.

А₁ ~ А₂ ~ А₃ ~...~ А_b; n(А₁) = n(А₂) =... = n(А_b) = а.

Тогда умножением целых неотрицательных чисел а и b называется бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условиям:

1) с = а-b = n(А₁ u А₂ u... u А_b) = а + а+...+а при b> 1;

b слагаемых

2) с = а * 1 = а при b = 1;

3) с = а * 0 = 0 при b = 0.

Задача 10: Доказать, используя определение 14, что 3*2 = 6.

Доказательство: 1. Первый множитель равен 3, а второй множитель равен 2. Поэтому выберем 2 равночисленных непересекающихся подмножества А₁ и А₂, в каждом из которых содержится по 3 элемента. Например, А₁ = {а, b, с} и А₂={q, w, е}. Пересечение выбранных множеств А₁ и А₂ пусто, так не существует элементов, принадлежащих одновременно и множеству А₁ и множеству А₂.2. Построим А1 u А₂ (для этого построим множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А₁ или принадлежат множеству А₂) и найдем пересчетом n(А₁ u А₂).А₁ u А₂= {а, b, с, q, w, е}; n(А₁ u А₂) = 6.

3. По определению 14 получаем, что 3*2 = n(А ₁ u А₂)=3+3 = 6.

Вопрос 23.Определение частного через разбиениие множества на попарно -непересекающиеся подмножества.

Рассмотрим задачу 1.

10 морковок раздали 5 кроликам поровну. По сколько морковок получил каждый кролик? Задача решается делением 10: 5=2 (м.)

А – множество морковок, п(А)=10 – количество элементов во множестве А.,

5 – количество непересекающихся подмножеств,

Число элементов в каждом подмножестве.

Изобразим схематично:

W WW WW WW WW W

2 2 2 2 2

Задача 2.

10 яблок раздали детям по 5 яблок каждому. Сколько было детей?

Задача решается так: 10: 5=2 (д.)

А – множество яблок, п(А) = 10,

5 – количество элементов в каждом подмножестве,

2- количество подмножеств, непересекающихся.

Изобразим схематично:

S S S S SS S S S S

2 2

Определение. Пусть п(А) = а и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если в – число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и в называется число элементов в каждом подмножестве (задача 1)

Если в –число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и в называется число подмножеств в этом разбиении (задача 2)

Действие, при помощи которого находят частное а: в называется делением, число в – делимым, в – делителем.

Деление связано с умножением.

Рассмотрим эту связь.

Пусть а=п(А) и множество разбито на в попарно непересекающихся равномощных подмножеств А1, А2, А3 …, А в. Тогда с = а: в есть число элементов в каждом подмножестве, т.е. с = а: в = п(А1) = п (А2) = … = п (А в)

Так как по условию А равно объединению подмножеств А1, А2,.. Ав, то число элементов множества А

равно числу элементов объединения подмножеств. Но подмножества А1, А2, Ав попарно не пересекаются, значит, по определению суммы число элементов объединения множеств равно сумме числа элементов подмножеств п(А) = с +с + с + …с = с в

Определение. Частным целого неотрицательного числа а на натуральное число в называется такое целое неотрицательное число с = а: в, произведение которого и числа в равно а.

Итак, а: в = с отсюда следует, что а = с. в

Деление можно проверить умножением. Например, 15: 3 = 5 т. к. 3.5 = 15