Вопрос 27. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.

Определение. Пусть даны целое неотрицательное число а и натуральное число Ь. Если при делении с остатком а на b остаток равен нулю, то число b называют делителем числа а.

Из определения следует, что если в — делитель а, то существует такое целое неотрицательное число q, что а = bq.

Например, число 8 является делителем числа 32, так как существует такое целое неотрицательное число q = 4, что 32 ==8*4.

Термин «делитель данного числа» следует отличать от термина «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 — делитель, но 5 не является делителем числа 18.

Теорема о делимости суммы. Если каждое слагаемое делится на натуральное число п, то и их сумма делится на это число.

Доказательство. Пусть числа а и b делятся на п. Докажем, что тогда число а+b тоже делится на п. Так как а\п, то существует такое целое неотрицательное число q, что а = nq. Так как Ь\п, то существует такое целое неотрицательное число р, что Ь=пр. Подставим в сумму а+b вместо а произведение nq и вместо b произведение пр. Получим a+b=nq+np. Вынесем за скобки общий множитель п и получившееся в скобках целое неотрицательное число q+p обозначим буквой t. Получим a+b=nq+np=n(q+p)=nt. Нам удалось сумму а+b представить в виде

произведения числа п и некоторого целого неотрицательного числа t. А это значит, что число а+b делится на п.

Мы провели доказательство теоремы для случая двух слагаемых. Аналогично можно доказать ее для суммы, состоящей из m слагаемых.

Теорема о делимости разности. Если числа а и b делятся на п и а> Ь, то а-b делится на п.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о делимости суммы.

Теорема о делимости произведения. Если один из множителей произведения делится на натуральное число п, то и все произведение делится на п.

Доказательство. Его мы проведем для произведения, состоящего из двух целых неотрицательных множителей а и Ь. Пусть один из них, например а, делится на п. Так как а/п, то существует такое целое неотрицательное число q, что а = nq. Умножим обе части этого равенства на b: a*b= (nq)*b, откуда a*b=n(q*b), но q*b —целое неотрицательное число, следовательно, ab\n.

Аналогично проводится доказательство и для произведения, в котором т множителей.

Например, произведение 24 *976*305 разделится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще две теоремы, связанные с делимостью произведения и суммы, которые часто используются в решении задач на делимость.

Теорема. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число ш, а множитель Ь делится на натуральное число п, то произведение ab делится на произведение mn.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о делимости произведения.

Теорема. Если в сумме одно слагаемое не делится на число т, а все остальные слагаемые делятся на число ш, то вся сумма на число m не делится.