Сложение

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Петя нашел 4 гриба, а Нина — 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4 + 3 = 7. Но как объяснить, почему использовано сложение, а не другое действие?

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый триб, который нашел Петя, кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом {рис. 89). Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить (присоединить) грибы Нины, т. е. объединить два множества грибов (рис. 90), и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. Видим, что сложение целых неотрицательных чисел оказывается тесно связанным с операцией объединения множеств.

Рассмотрим еще одну задачу. Найдем число элементов в объ­единении множеств А = {а, Ь, с, d] и В = {с, х, у). Нетрудно установить, что /г(Л) = 4, п(В)—3, A\JB={a, b, с, d, х, у], но п(А[]В)ф4 + 3. Почему так?

Дело в том, что множества Л и В в этой задаче пересекаются, и, значит, число элементов в их объединении не совпадает с суммой п (А)-\-п (В).

Поэтому сумму целых неотрицательных чисел определяют че­рез, объединение непересекающихся множеств.

Определение. Суммой целых неотрицательных чисел а и Ь называют число элементов в объединении непересекающихся мно­жеств А и В, таких, что п (А)=а, п (В)=Ь:

Пример. Объясним, пользуясь данным определением, что 5 + 2 = 7. 5 — это число элементов некоторого множества А, 2 — число элементов некоторого множества В, причем их пересечение должно быть пусто. Возьмем, например, множества А={х, у, z, t, р\, В —{а, Ь]. Объединим их: А[)В = {х, у, z, t, p, a, b}. Путем пересчета устанавливаем, что п (А[)В) = 7. Следовательно, 54-2 = 7.

В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос: а не зависит ли сумма чисел 5 и 2 от выбора непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = 5, п(В) = 2? Иными словами, если взять другие непересекающиеся множества А\ и В\, но удовлетворяющие условию п(А\) = 5 и п(В\) = 2, то не изменится ли сумма 5 + 2? По всей видимости, нет.

Вообще сумма а-\-Ь не зависит от выбора непересекающихся множеств А и В, таких, что п (А) = а, п (В) = Ь. Это общее утвержде­ние мы примем без доказательства.

Кроме того, сумма целых неотрицательных чисел всегда суще­ствует и единственна. Другими словами, какие бы два целых неотри­цательных числа а и Ь мы ни взяли, всегда можно найти их сум­му— целое неотрицательное число с, оно будет единственным для данных чисел а и Ь. Существование и единственность суммы выте­кают из существования и единственности объединения двух мно­жеств.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Выше нами было дано определение суммы двух слагаемых. А как определить сумму нескольких слагаемых?

Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма п слагаемых. Тогда сумма, состоящая из /г + 1 слагаемого, т. е. сумма Й1+Я2+... + а„ + а_л+1, равна (ai+a₂+... +а„)+а_п+].

Например, чтобы найти сумму 2 + 7+15-f-19 согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования:

2 + 7+15+19 = (2+ 7+15)+19 = ((2 +7)+15)+19 = = (9+ 15)+ 19 = 24+ 19 = 43.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицатель­ных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используются). Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых¹ арифметических задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована в начале пункта.