![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
В форме дифференциального уравненияСтр 1 из 4Следующая ⇒
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ
Методические указания к проведению лабораторных занятий и контрольные задания для самостоятельной работы по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ» для студентов специальностей 210100 и 071900 и направления 550200
Одобрено редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета
Саратов 2002 ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных задач исследования управляемых систем является задача анализа, заключающаяся в определении закона изменения выходной величины при подаче на вход системы известного входного воздействия. Анализ проводится с использованием математической модели системы либо в форме дифференциального уравнения, либо в форме передаточной функции. В ряде случаев при анализе целесообразно использовать представление модели системы в форме Коши. Рассматривается два раздела: анализ систем с использованием модели в форме дифференциального уравнения и применение преобразования Лапласа в анализе систем. Лабораторные и практические занятия имеют своей целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний и получение практических навыков при решении конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета. Задачи, рассматриваемые в методических указаниях, соответствуют рекомендациям программы изучения дисциплины, призваны способствовать лучшему усвоению теоретического материала, изучаемого в соответствующем разделе. Вначале рассматриваются решенные задачи, а затем приводятся задачи для самостоятельной работы, которые являются составной частью отчета по соответствующему модулю при модульно – рейтинговой системе. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙТВИЯХ Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок. — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта. — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы). — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание. SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение
Задача анализа заключаетя в определении закона изменения выходной величины y(t) при подаче на вход системы известного входного воздействия u(t). Анализ проводится использованием математической модели системы, как правило, либо в форме дифференциального уравнения, либо в форме передаточной функции. В ряде случаев при анализе целесообразно использовать представление модели системы в форме Коши.
Анализ систем с использованием модели в форме дифференциального уравнения
Пусть математическая модель одномерной системы (системы с одним входом и одним выходом) имеет вид:
где y(t) – выходная переменная; u(t) – входная переменная (управление); Начальное состояние (положение) системы определяется начальными условиями:
Если входное воздействие u(t) задано, то правая часть уравнения (1) будет известной функцией времени (обозначим ее f(t)) и математическая модель примет вид:
Анализ заключается в решении уравнения (3) и определении y(t).
Решение линейного обыкновенного дифференциального неоднородного уравнения (3) при известных начальных условиях (2) состоит из двух составляющих:
где
Алгоритм нахождения 1. Составление характеристического уравнения
2. Нахождение собственных чисел – корней характеристического уравнения 3. Запись выражения Пусть, например,
Тогда в
Значение Записав
Пример 1. [1, с. 50]. Математическая модель системы имеет вид
Определить Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:— Разгрузит мастера, специалиста или компанию; — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой; — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях; — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет; — Позволит записываться на групповые и персональные посещения; — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам; — Включает в себя сервис чаевых. Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе Для нахождения
Характеристическое уравнение Собственные числа Поэтому Вынужденную составляющую ищем по виду правой части уравнения (приложение 1) Постоянные
Подставив Приравнивая коэффициенты при откуда Следовательно, Поэтому
Определим произвольные постоянные из начальных условий. Так как
Окончательно закон изменения выходной величины имеет вид Проверка. Для того, чтобы убедиться в правильности найденного решения, подставим Тогда подстановка в исходное уравнение дает Приведя подобные в левой части, получим тождество Следовательно, решение найдено верно.
Пример 2. [1, с.125]. Математическая модель системы имеет вид Входное воздействие Так как Поэтому модель принимает вид Характеристическое уравнение Собственные числа Свободная составляющая
Вынужденную составляющую (частное решение неоднородного уравнения) будем искать в виде (приложение 1): Откуда Подставив Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Поэтому Следовательно, Определим
Окончательно закон изменения выходной переменной: Проверка. Подставим в исходное уравнение (модель системы): или Получили тождество, что свидетельствует о том, что решение найдено верно.
Пример 3. Для электрической схемы, рис.1, определить закон изменения тока, соответствующий изменению Рис.1
Из закона Кирхгофа для напряжения и выражений
получаем математическую модель схемы в виде дифференциального уравнения: Подставив численные значения L=1Г, R=2Ом, C=0.2Ф, а также
Для определения закона изменения тока i(t) необходимо решить это уравнение. Решение уравнения ищем в виде: Определим Характеристическое уравнение: Собственные числа: Поэтому
Определим Будем искать Откуда Подставим эти значения в математическую модель системы и определим А: Поэтому Следовательно, Постоянные Окончательно закон изменения тока имеет вид
Пример 4 [2, с. 70]. Математическая модель системы имеет вид
Входное воздействие Для определения
Характеристическое уравнение
Собственные числа
Вынужденную составляющую в данном случае ищем в виде (приложение1):
так как Постоянные Поэтому
Следовательно,
Произвольные постоянные
Окончательно
Пример 5. Для электрической принципиальной схемы, рис. 2, определить закон изменения напряжения, соответствующий изменению источника тока Рис.2
Из закона Кирхгофа для тока
и выражений получаем математическую модель схемы в виде дифференциального уравнения
Подставив численные значения параметров
Закон изменения напряжения
Определим Характеристическое уравнение Собственные числа
Поэтому Определим Будем искать Откуда Подставим эти значения в дифференциальное уравнение и определим A, B Поэтому Следовательно, Постоянные
Окончательно закон изменения напряжения примет вид:
|