Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • В форме дифференциального уравнения






    МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ

     

    Методические указания

    к проведению лабораторных занятий

    и контрольные задания

    для самостоятельной работы

    по дисциплине «Основы аналитической теории

    анализа и синтеза САУ»

    для студентов специальностей 210100 и 071900

    и направления 550200

     

     

    Одобрено

    редакционно-издательским советом

    Саратовского государственного технического университета

     

    Саратов 2002 ВВЕДЕНИЕ

     

    Одной из основных задач исследования управляемых систем является задача анализа, заключающаяся в определении закона изменения выходной величины при подаче на вход системы известного входного воздействия. Анализ проводится с использованием математической модели системы либо в форме дифференциального уравнения, либо в форме передаточной функции. В ряде случаев при анализе целесообразно использовать представление модели системы в форме Коши.

    Рассматривается два раздела: анализ систем с использованием модели в форме дифференциального уравнения и применение преобразования Лапласа в анализе систем.

    Лабораторные и практические занятия имеют своей целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний и получение практических навыков при решении конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.

    Задачи, рассматриваемые в методических указаниях, соответствуют рекомендациям программы изучения дисциплины, призваны способствовать лучшему усвоению теоретического материала, изучаемого в соответствующем разделе.

    Вначале рассматриваются решенные задачи, а затем приводятся задачи для самостоятельной работы, которые являются составной частью отчета по соответствующему модулю при модульно – рейтинговой системе.


    АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ

    СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

    ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙТВИЯХ

     

    Задача анализа заключаетя в определении закона изменения выходной величины y(t) при подаче на вход системы известного входного воздействия u(t). Анализ проводится использованием математической модели системы, как правило, либо в форме дифференциального уравнения, либо в форме передаточной функции. В ряде случаев при анализе целесообразно использовать представление модели системы в форме Коши.

     

    Анализ систем с использованием модели

    в форме дифференциального уравнения

     

    Пусть математическая модель одномерной системы (системы с одним входом и одним выходом) имеет вид:

    (1)

    где y(t) – выходная переменная; u(t) – входная переменная (управление); постоянные коэффициенты.

    Начальное состояние (положение) системы определяется начальными условиями:

    (2)

    Если входное воздействие u(t) задано, то правая часть уравнения (1) будет известной функцией времени (обозначим ее f(t)) и математическая модель примет вид:

    (3)

    Анализ заключается в решении уравнения (3) и определении y(t).

     

    Решение линейного обыкновенного дифференциального неоднородного уравнения (3) при известных начальных условиях (2) состоит из двух составляющих:

    (4)

    где – свободная составляющая движения системы (определяется, как общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (3):

    . (5)

    – вынужденная составляющая движения (определяется, как частное решение заданного неоднородного уравнения).

    Алгоритм нахождения (решение уравнения (5)).

    1. Составление характеристического уравнения

    . (6)

    2. Нахождение собственных чисел – корней характеристического уравнения .

    3. Запись выражения по виду корней характеристического уравнения.

    Пусть, например,

    ; – вещественные различные; – действительные одинаковые; –комплексные сопряженные, кратности 3; – комплексные сопряженные.

    Тогда в этим корням соответствуют следующие составляющие:

    .

    Значение может быть определено различными методами: метод вариации постоянных (метод Лагранжа), метод Коши, метод нахождения по виду правой части. В большинстве практических случаев можно определить по виду правой части исходного дифференциального уравнения (3). Некоторые рекомендации по применению приведены в приложении 1.

    Записав в соответствии с (4), определяются произвольные постоянные из начальных условий (2).

     

    Пример 1. [1, с. 50]. Математическая модель системы имеет вид

    .

    Определить , если , а начальные условия нулевые (система находится в покое) , .

    Для нахождения необходимо решить дифференциальное уравнение

    .

    Характеристическое уравнение .

    Собственные числа .

    Поэтому .

    Вынужденную составляющую ищем по виду правой части уравнения (приложение 1) .

    Постоянные и определяются из условия удовлетворения исходному уравнению (модели системы).

    ,

    .

    Подставив , , и в модель системы и сократив на , получим .

    Приравнивая коэффициенты при и , получаем систему уравнений для определения , :

    откуда

    Следовательно,

    Поэтому

     

    Определим произвольные постоянные из начальных условий.

    Так как , то имеем

    .

    Окончательно закон изменения выходной величины имеет вид

    Проверка. Для того, чтобы убедиться в правильности найденного решения, подставим в исходное уравнение. Если в результате этой подстановки получается тождество, то решение найдено верно.

    Тогда подстановка в исходное уравнение дает

    Приведя подобные в левой части, получим тождество

    Следовательно, решение найдено верно.

     

    Пример 2. [1, с.125]. Математическая модель системы имеет вид

    Входное воздействие . Начальные условия нулевые (система находится в покое)

    Так как , следовательно,

    Поэтому модель принимает вид

    Характеристическое уравнение

    Собственные числа

    Свободная составляющая

     

    Вынужденную составляющую (частное решение неоднородного уравнения) будем искать в виде (приложение 1):

    Откуда

    Подставив в исходное уравнение, получим

    Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем

    Поэтому

    Следовательно,

    Определим из начальных условий

     

    Окончательно закон изменения выходной переменной:

    Проверка.

    Подставим в исходное уравнение (модель системы):

    или

    Получили тождество, что свидетельствует о том, что решение найдено верно.

     

     

    Пример 3. Для электрической схемы, рис.1, определить закон изменения тока, соответствующий изменению при нулевых начальных условиях

    Рис.1

     

    Из закона Кирхгофа для напряжения

    и выражений

    получаем математическую модель схемы в виде дифференциального уравнения:

    Подставив численные значения L=1Г, R=2Ом, C=0.2Ф, а также

    получим математическую модель схемы в виде:

    Для определения закона изменения тока i(t) необходимо решить это уравнение.

    Решение уравнения ищем в виде:

    Определим

    Характеристическое уравнение:

    Собственные числа:

    Поэтому

     

    Определим

    Будем искать в виде правой части:

    Откуда

    Подставим эти значения в математическую модель системы и определим А:

    Поэтому

    Следовательно,

    Постоянные определим из начальных условий.

    Окончательно закон изменения тока имеет вид

    .

     

    Пример 4 [2, с. 70]. Математическая модель системы имеет вид

    .

    Входное воздействие . Начальные условия нулевые , . Определить закон изменения выходного сигнала .

    Для определения надо решить уравнение вида

     

    Характеристическое уравнение

    .

    Собственные числа – действительные одинаковые, поэтому

    .

    Вынужденную составляющую в данном случае ищем в виде (приложение1):

    ,

    так как является двухкратным корнем характеристического уравнения.

    Постоянные , определяются из условия удовлетворения дифференциальному уравнению (модели системы). Подставив в уравнение системы, получим , .

    Поэтому

    .

    Следовательно,

    .

    Произвольные постоянные , определяются из начальных условий

    ,

     

    .

     

    Окончательно

    .

    Пример 5. Для электрической принципиальной схемы, рис. 2, определить закон изменения напряжения, соответствующий изменению источника тока . Начальные условия полагаются нулевыми .

    Рис.2

     

    Из закона Кирхгофа для тока

     

     

    и выражений

    получаем математическую модель схемы в виде дифференциального уравнения

    .

    Подставив численные значения параметров , , , а также , получим математическую модель в виде:

    .

    Закон изменения напряжения имеет две составляющие

    .

    Определим .

    Характеристическое уравнение .

    Собственные числа

     

    Поэтому

    Определим

    Будем искать в виде (приложение 1)

    Откуда

    Подставим эти значения в дифференциальное уравнение и определим A, B

    Поэтому

    Следовательно,

    Постоянные определим из начальных условий

     

    Окончательно закон изменения напряжения примет вид:

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.