Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Оптимальное правило принятия решения о состоянии объекта контроля
Рассмотрим следующую линейную модель измерения, которая часто достаточно точно отражает процесс измерения сигналов в процессах контроля состояния объекта: , (3.46) где X- вектор состояния объекта размерности m´ 1, R - матрица измерения размерности N´ m, H - вектор погрешностей измерений размерности N´ 1, Y- вектор результатов измерений размерности N´ 1. Рассматривается двуальтернативный случай контроля работоспособности объекта. В этом случае вектор состояния объекта контроля X может относиться либо к области допустимых значений g0 либо к области недопустимых значений g1. При этом выполняются следующие условия: Будем предполагать, что известны законы распределения векторов X и H. Поставим задачу определить байесово правило решение, которое обеспечит минимальный средний риск классификации сигналов X по результатам наблюдений Y. С позиций теории статистических решений задача сводится к определению оптимального правила решения r·, которое минимизирует или обеспечивает нижнюю границу среднего риска R(r, h) , (3.47) где h(x)-априорное распределение вектора X, -байесов риск, соответствующий оптимальному правилу решения . Оптимальное правило решения сводится к оптимальному разбиению пространства F значений векторов Y или пространства W оптимальных оценок вектора X на две области G0-допустимых значений и G1-недопустимых значений, обеспечивающих минимальное значение среднего риска. При этом должны выполняться следующие условия: Оптимальное правило решения определяет границу между G0 и G1. С позиций теории статистических решений в данном случае целесообразно использовать оптимальный алгоритм, определяемый следующими соотношениями: если < k принимается решение z = 0, (3.48) если ³ k принимается решение z = 1, (3.49) где отношение апостериорных вероятностей будет равно , k-порог, который определяется следующим соотношением , lij- функция потерь, соответствующая i-му истинному состоянию объекта контроля и j-м решению, принимаемом о состоянии объекта по результатам измерений Y, i, j= 0, 1. Вид порога определяет критерий оптимальности. Если положить l10 = l01 = 1, l00 = l11 = 0, то в этом случае будет выбран критерий Котельникова (идеального наблюдателя). В этом случае минимизируется сумма двух ошибок - риска заказчика и риска изготовителя: . (3.50) Если положить l00 = l11 = 0, l01= 1, l10=1+l/p1, где неопределённый множитель Лагранжа l определяется условия заданного ограничения , то получим критерий Неймана-Пирсона (β задано, α минимизируется) (3.51) Инверсный критерий Неймана-Пирсона (a задано, b минимизируется) определяется из следующего выражения: . (3.52) Основной недостаток оптимального метода решения рассматриваемой задачи заключается в сложности получаемых алгоритмов классификации состояний объекта контроля. Граница между областями G0 и G1 имеет очень сложный вид. Поэтому на практике часто используется квазиоптимальный способ оценки состояния объекта контроля. Пример. Получим оптимальное правило контроля состояния объекта при нормальных законах распределения параметров состояния h(x) и погрешностей измерения f(y/x). Будем предполагать, что контроль состояния объекта производится на интервале времени, в течении которого значения параметров объекта и погрешностей измерения H заметно не изменяются, т.е. X и H - векторы а не случайные векторные процессы. Таким образом, априорная плотность распределения вектора состояния имеет следующий вид: , (3.53) где математическое ожидание mx размерности m´ 1 и корреляционная матрица Kx размерности m´ m вектора X известны и матрица Kx является невырожденной. Условная плотность распределения f(y/x) вектора погрешностей измерения H является также нормальной и имеет следующий вид: F(y/x)= , (3.54) где корреляционная матрица KH размерности N´ N вектора погрешностей измерения H известна и является невырожденной, математическое ожидание вектора H mH=0. Тогда можно определить в следующем виде: , (3.55) где - оптимальная оценка вектора X по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценки при получении вектора измерений Y; - корреляционная матрица ошибок оптимальных несмещенных оценок вектора X. В соотношение (3.55) входит плотность распределения , которую с учётом введения обозначения , где -ошибка оптимальной оценки вектора X, можно рассматривать как плотность вероятности оптимальной ошибки оценки: . (3.56) Отсюда следует, что отношение апостериорных вероятностей в данном случае определяется при фиксированном значении вектора y отношением вероятности попадания ошибки оценки в соответственно области и . Используя соотношения (3.48) и (3.49) определим алгоритм принятия решения процесса контроля. Предположим, что все контролируемые параметры являются независимыми между собой и от погрешностей измерений, что часто выполняется на практике, так как контролируемые параметры выбираются таким образом, чтобы при данном объёме обеспечить максимальную информацию о состоянии объекта. Будем считать, что все погрешности измерений различных параметров также взаимонезависимы. Пусть mx=0, W0k=AВk-AНk, W1k=(¥ ¸ AВk, AНk¸ -¥), AВk=- AНk, где AВk-верхняя граница допуска на k-ый параметр, AНk-нижняя граница допуска на k-ый параметр) Рис.3.2 Поле допустимых и недопустимых значений k-го параметра состояния объекта
В этом случае отношение апостериорных вероятностей примет следующий вид: .(3.57
Используем табличный интеграл ошибок . Тогда отношение апостериорных вероятностей можно представить в следующем виде: (3.58) Подставляя соотношение (3.58) в выражение (3.48) и (3.49), определим оптимальный алгоритм принятия решений о состоянии объекта контроля для исследуемой ситуации. При получении результата измерения y необходимо получить оптимальную оценку вектора x и затем вычислить отношение апостериорных вероятностей и сравнить с порогом k, значение которого определяется критерием оптимизации, в результате получим оптимальное решение при выборе класса состояний объекта контроля. Рассмотрим частный случай, пусть m = 1, тогда . (3.59) Выберем критерий Котельникова, которому соответствует значение порога = 1. В этом случае неравенство (3.59) можно привести к следующему виду: . (3.60) Алгоритм решения сводится к получению двух интегралов вероятности, нахождению их разности и сравнению с ½. Исследуем данный алгоритм контроля однопараметрического объекта учитывая, что функция F обладает следующими свойствами: - если аргумент равен нулю, то функция F равна нулю; - если аргумент равен , то функция F равна единице; - функция F нечетная; -если аргумент равен 3, то функция F близка к единице. Зависимости интегралов вероятности и их разности, определяемой левой частью неравенства (3.60), от изменения значений оптимальной оценки параметра X приведены на рисунке (3.3). Рис.3.3 Зависимость разности двух интегралов вероятности от значений оптимальной оценки параметра состояния X Как видно из рисунка границы допуска в общем случае не совпадают с значениями оценок , определяемых пересечениями зависимости разности двух интегралов вероятности с прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от неё на расстоянии, определяемом значением ½. Таким образом, если перейти от оптимального алгоритма контроля к квазиоптимальному, определяемому сравнением значения оптимальной оценки с верхним и нижним значениями оценок, определяемых пересечением зависимостью разности двух интегралов вероятности со значением 1/2, то при принятии решения о состоянии объекта возникнет методическая ошибка. Величина этой ошибки будет тем меньше чем больше отношение поля допуска к среднеквадратическому значению ошибки оптимальной оценки. При часто выполняющихся значениях этого отношения 18 и больше (так как обычно , , где sx-среднеквадратическое значение параметра объекта) можно пренебречь влиянием методической ошибки на достоверность принимаемого решения. При этом контрольное поле допуска обычно незначительно превосходит контролируемое поле допуска g0=(AВ-AН). Полученный квазиоптимальный алгоритм контроля состояния объекта значительно проще оптимального алгоритма и сводится к сравнению полученной оптимальной оценки с верхнй и нижней границами контрольного поля допуска. При этом если значение оценки попадает в контрольное поле допуска принимается решение, объект работоспособен и в альтернативном случае – неработоспособен. Если используется оптимальное правило решения , то вероятности ошибок контроля можно определить следующими выражениями: , (3.61) , (3.62) где и плотности распределения отношения апостериорных вероятностей при условии соответственно, что вектор состояния объекта контроля X принадлежит области недопустимых значений g1 и области допустимых значений g0. Определение указанных плотностей распределения вызывает значительные трудности. В связи с чем при использовании оптимального правила решения вычисление вероятностей ошибок и и достоверности и каналов «годен» и «негоден» системы контроля является затруднительным. При использовании же квазиоптимального правила решения о состоянии объекта контроля в случае использования областей допустимых значений g0 и G0 в виде m-мерных параллелепипедов не вызывает затруднений. , . Например, в случае однопараметрического объекта и для рассматриваемой линейной модели измерения выражения для безусловных рисков изготовителя и заказчика можно представить в следующем виде: , (3.63) . (3.64) Для уменьшения ошибок контроля целесообразно: 1. уменьшить дисперсию ошибки оптимальной оценки путем использования более точных измерителей (уменьшить ) и оптимальной фильтрации сигналов, 2. использовать комплексную обработку информации путём увеличения числа каналов и оптимальной обработки многомерных сигналов, 3. использовать измерители с некоррелированными погрешностями или измерители, у которых погрешности имеют отрицательный коэффициент корреляции 4.использовать оптимальные методы принятия решений о состоянии объекта контроля, 5. осуществить оптимальный выбор контрольных полей допусков при использовании квазиоптимального способа принятия решения о состоянии объекта контроля.
|