Позиционные системы счисления. Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:

Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:

C = C_n Pⁿ +C_n-1 P^n-1 +…+C₁ P¹ +C₀ P⁰ +C_-1 P^-1 +…+C_-m P^-m,

где в качестве C_i могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы

определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов – для целой части числа (n разрядов);

• отрицательные значения – для дробной (m разрядов).

В вычислительных системах применяются две формы представления чисел:

• естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);

• нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).

1. С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

C = C_n C_n-1 …C₁ C₀, C_-1 C_-2 … C_-m.

Запятая опускается, если дробная часть отсутствует. Позиции цифр в такой записи называются разрядами. Разряды нумеруются влево от запятой, начиная с нуля: 0-й, 1-й,...(n-1)-й, n-й; и вправо от запятой: 1-й, 2-й,...(m-й).

Значение C_i цифры c_i в позиционных системах счисления определяется номером разряда:

C_i = с_i P_i.

Величина P_i называется весом, или значением, i -го разряда. В позиционной системе счисления вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию системы. В десятичной системе счисления цифры 1-го разряда – единицы, 2-го – десятки, 3-го – сотни и т.д.

Примеры:

1) Десятичная система счисления. Р = 10.

Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

723, 19₁₀ = 7 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ + 1 × 10^-1 + 9 × 10^-2.

2) Двоичная система счисления. Р = 2.

Цифры: 0, 1.

101110, 11₂ = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ +0 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2.

3) Восьмеричная система счисления. Р = 8.

Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

123, 15₈ = 1 × 8² + 2 × 8¹ + 3 × 8⁰ + 1 × 8^-1 + 5 × 8^-2.

4) Шестнадцатеричная система счисления. Р = 16.

Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

1СF, 5Е₂ = 1 × 16² + С × 16¹ + F × 2⁰ + 5 × 16^-1 + Е × 16^-2

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон

представления чисел и поэтому не всегда приемлема в вычислениях.

2. С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, а вторая порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

N = ± M P ^{± r},

где M – мантисса числа (|М| < 1);

r – порядок числа (r – целое число);

P – основание системы счисления.

Пример:

Приведем несколько равенств: левая часть равенства – число в естественной форме, правая часть – в нормальной форме. Для записи естественной формы используются 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части.

721, 355 = 0, 721355 × 10³;

0, 00328 = 0, 328 × 10^-2;

–10301, 2026 = –0, 103012026 × 10⁵.

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.