Г-4* 1*44 ^■*■—% / ъ I У\ .- * ^ I - « ^ 1 Г*~**\ Г*~\ Г\Л ^ \ - » - * - ■11*^1 Ъ -—^- Ль ,~*.

I

А? ю

Quot; 0

I 1 I I 1 I! I

^ ^ Г" *.Г" Я⁵ -°«° Я⁵ Я-⁵»° -° Я „°„° Я³ Я⁵ Я⁵-" ^-.г".Г" ^ ю <? \К)Ъсо о\^л" и> го " *— о ^-1о" о^ < -/»ел " со оюомо

4^4^00(^4^---4ГО00С^ЫОК)и»1> 0(О--д-р^и> 004й.4^

! 1

тическое ожидание недобора урожая в планируемом году, которое определяется как разность между многолетней средней урожайно­стью и прогнозируемой урожайностью на планируемый год.

Поясним физический и экономический смысл данного функ­ционала (рис. 27).

Линии 1 и 2 показывают значения соответственно прогнози­руемого и среднего многолетнего валового сбора озимых и яро­вых культур. Из рисунка видно, что в любой планируемый год может возникнуть одна из трех ситуаций: недобор урожая ози­мых и яровых положителен (случай 1), отрицателен (случай 2) и равен 0 (случай 3). В первых двух случаях условие задачи мини­мизировать величину недобора урожая озимых и яровых культур приводит к тому, что прогнозируемая кривая 1 переместится в положение 3, то есть произойдет увеличение фактического вало­вого сбора озимых и яровых культур.

Целесообразно не только «поднять» кривую валового сбора, но и уменьшить ее колебания по годам, то есть добиться стабиль­ности валовых сборов зерновых.

Математически величину колебаний характеризует дисперсия. Покажем, как изменится вид кривой прогнозируемого валового сбора урожая озимых и яровых культур, если показателем каче­ства решения будет выбрана дисперсия линейной формы:

2-) = Б

и=1

► тт.

В этом выражении Б — знак дисперсии, а с, - и х_] имеют тот же физический смысл, что и в целевой функции 2\.

§■ 5'

Й:»: •3 \

С

Годы

Рис. 27. Возможные пути получения урожая озимых и яровых зерновых культур

Учитывая правило нахождения дисперсии линейной функ­ции, приведенное уравнение 2₂ можно переписать в виде

" г п2 = X [^х]\ Л/+2 ^Х_]Х₁Ку -> 1ШП, '

У=1 У'< 1

где Кц — корреляционный момент величин с, - и с, -.

Последнее выражение можно записать в более удобной фор­ме, заменив /)с_у на о] и Щ на /ут/Оу (г/, - — коэффициент корреля­ции величин с, - и с,):

%2 = X ^ару + 2 X ^_^^■ а^с^x_^x^ -> тт.

Минимизируя выражение 2" ₂, мы уменьшаем размах колеба­ний, и следовательно, кривая прогнозируемого валового сбора озимых и яровых культур будет сглажена и займет положение 4 (см. рис. 27).

С экономической точки зрения наиболее выгодным представ­ляется вариант выбора такой целевой функции, которая одно­временно уменьшала бы недобор урожая и сглаживала его коле­бания. Этого можно достичь, если показателем качества решения задачи выступит линейная комбинация математического ожида­ния и дисперсии линейной формы.

Функция цели в этом случае будет состоять из двух слагаемых:

2з = (а2_{ + $2₂) -> гшп, где а и р — некоторые коэффициенты, не равные нулю.

Преобразуем это уравнение, для чего разделим обе его части на а. Получим

2о = (2, \ + Х2₂) -» тт. 424

Выбор неизвестного коэффициента X зависит от конкретных условий задачи. В ряде исследований он называется штрафом за единицу дисперсии.

Подставляя в последнее уравнение значения 2_Х и 2_Ъ получим целевую функцию в окончательном виде:

2= '^_^с^x^+x

Хо)х; +2Х^ст₍о_уХ/х_у-

У< 1

Для нее надо найти минимум.

Таким образом, задача стохастического программирования сведена к детерминированной задаче нелинейного программиро­вания.

Рассмотрим пример по одному из районов Ивановской облас­ти за пять лет (исходные данные и решение Т. Я. Перингера и И. Ф. Полунина, изложение и обозначения наши).

Построение системы ограничений. Учитывая, что матрица тех­нико-экономических коэффициентов данной задачи детермини­рована, их определяют обычным способом. Например, затраты труда в расчете на 1 га посевов зерновых определяют путем деле­ния объема затраченных трудовых ресурсов при возделывании культуры на ее общую площадь (табл. 138).

138. Исходные значения технико-экономических коэффициентов

^Ограничения Культура

Пло­щадь посева, га

Потребность в трудовых ре­сурсах, чел.-ч

Объем меха­низирован­ных работ, усл. эт. га

Потребность в денежно-матери­альных средствах, руб. на I га

Потребность в

минеральных

удобрениях,

кг на 1 га

По условию задачи размещения посевов озимой ржи и овса правая часть системы ограничений считается случайной, то есть

она записывается в виде Р

Gt; о(0

и не может быть за-

, 7 = 1

ранее точно определена. Рассмотрим подробно процедуру вы­числений технико-экономических коэффициентов в правой час­ти и переход от вероятностной формы ограничений к детерми­нированной. Из годовых отчетов за пять рассматриваемых лет находим общую площадь, занятую посевами озимой ржи и овса. За этот же период по годовым отчетам устанавливаем наличие трудовых ресурсов (с учетом привлеченной рабочей силы), тех­ники, выделенных денежных средств и наличие минеральных удобрений. Вычисляем среднее арифметическое значение ресур-

са Ь_; -, а также среднеквадратическое отклонение о, - по формуле

1_______

Исходные данные и расчеты заносим в таблицу 139. Для того чтобы свести систему вероятностных ограничений к детерминированным, зададим вероятность выполнения каждого

неравенства: например, Р^> 0, $5; /> ₀⁽²⁾> 0, 40; Р₀⁽³⁾> 0, 60; ^о⁽⁴⁾-°> ⁷⁰' Р₀⁽⁵⁾> 0, 35.

Тогда систему ограничений для района в вероятностной фор­ме можно записать следующим образом:

1. Дх, + х₂ = 15 032) > 0, 85;

2. Р(8, 02х! + 8, 63х₂ < 132 354) > 0, 40;

3. Р(9, 64х! + 7, 25х₂< 131 665) > 0, 60;

4. Д107Х) + 82х₂< 1 543 430) > 0, 70;

5. Р(110х, + 78х₂< 1710 000) > 0, 35;

6. Х! > 0;

7. х₂> 0.

Используя вышеприведенную формулу Ь=т+ка=Ь+ка, а так­же данные таблицы 139, перейдем от системы вероятностных ог­раничений к ее детерминированному аналогу.

Например, для ограничения по трудовым ресурсам:

6=132 354; к = 0, 2531 (при вероятности 0, 40, табл. 139), а = 5169,

Ь =132 354+0, 2531-5169=133 662. Тогда общий вид этого ограниче­ния в детерминируемом выражении будет следующим:

8, 02x1+ 8, 63х₂< 133 662.

Учитывая, что первое ограничение по площади посева имеет вид равенства, в детерминированный вид, исходя из закона плотности распределения (рис. 28), оно трансформируется в два условия с параметрами

^=15032-1, 0366-947=14 050;

^'=15 032+1, 0366-947=16 014. Тогда баланс площадей посева будет выглядеть так:

1. Х[+х₂> 14 050;

2. Х! +х₂< 16 014.