Ченности хозяйства трудовыми ресур­сами

нятий — дополнительного продукта (см. п. 10.1) и скрытой цены (см. п. 16.1) данного фактора. Нетривиальной является суще­ственная нелинейность (в целом) зависимости результирующего показателя у от ресурсных факторов, в частности проявление «эффекта насыщения», в то время как исходный изучаемый ма­тематический объект — симплексная модель — является линей­ной.

Контрольные вопросы и задания

1. С какой целью проводятся вычисления в сокращенных симплексных табли­цах?

2. В чем отличие алгоритмов решения задач в полных и сокращенных симплек­сных таблицах?

3. Какие виды контроля вычислений применяются при использовании сокра­щенных симплекс-таблиц?

4. Можно ли использовать алгоритм решения задач в сокращенных симплекс­ных таблицах при реализации программы симплекс-метода на ЭВМ?

5. Что является признаком вырожденности симплексных задач? К каким по­следствиям может привести появление вырожденных решений?

6. Как можно преодолеть вырожденность симплексной задачи?

7. Покажите на примере несложной задачи линейного программирования роль ограничений в формировании облика производственной функции. Проиллюстри­руйте это графически.

8. Объясните, как возникает нелинейный характер зависимости результирую­щего показателя (например, валового продукта хозяйства) от его ресурсообеспечен-ности, даже если исходная постановка задачи является линейной.

9. Как соотносятся понятия «дополнительный продукт фактора» в производ­ственной функции и «скрытая цена» того же фактора в модели линейного програм­мирования?

Глава 18

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

При решении ряда землеустроительных задач могут быть ис­пользованы методы не только линейного программирования, но и другие, относящиеся к классу задач математического програм­мирования: динамическое, параметрическое, стохастическое, дробно-линейное и целочисленное программирование.

К сожалению, исследований в этой области математического моделирования в землеустройстве недостаточно, так как до на­стоящего времени в землеустроительное производство не вне­дрены задачи, решаемые вышеназванными методами. Удачные попытки применения методов параметрического и стохастичес­кого программирования в землеустройстве были предприняты А. Ю. Ашенбреннером, И. Ф. Полуниным, Т. Я. Перингером (Ашенбреннер А. К). Организация угодий и устройство террито­рии севооборотов в условиях орошаемого земледелия. Канд. дисс. — М., 1984.— 210 с; Полунин И. Ф. Математическое

программирование в землеустройстве. — Минск: Вышэйшая школа, 1972.— 240 с; Математические методы в организации использования земель. — М.: ГИЗР, 1977. — С. 35—98). От­дельные исследования в этом направлении были выполнены в Государственном научно-исследовательском институте зе­мельных ресурсов (ГИЗР) с середины 70-х до середины 80-х годов. Тем не менее в других отраслях аграрной экономичес­кой науки применение методов математического программи­рования дает прекрасные результаты, поэтому знание возмож­ностей и постановок задач, решаемых этими методами, позво­лит существенно расширить круг математического моделиро­вания в землеустройстве и за счет этого повысить его эффективность.

18.1. ЛИНЕЙНО-ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Многие из землеустроительных общих и частных задач носят динамический характер. Например, задачи, связанные с оптими­зацией структур производства, состава и площадей земельных угодий на перспективу, должны включать в себя не только разра­ботку показателей на момент полного освоения проекта (конеч­ный год), но и годовых планов осуществления проекта землеуст­ройства, связанных между собой. Это обусловлено тем, что вос­производство, в том числе и плодородия почв, — непрерывный, ежегодно повторяющийся процесс.

Другая землеустроительная задача — разработка плана перехо­да к запроектированным севооборотам — тоже представляет со­бой динамическую модель, так как основана на постепенном пе­реходе от одних предшественников сельскохозяйственных куль­тур к другим во времени (по годам).

В ряде линейно-динамических задач в качестве аргумента вы­ступает время, а этапами, как правило, являются отрезки време­ни. Так, например, в линейно-динамических задачах этапами яв­ляются годы.

В настоящее время наиболее широкое распространение полу­чили имитационные и оптимизационные линейно-динамические модели.

Имитационная модель реализуется в виде программы или паке­та прикладных программ для ЭВМ и описывает поведение моде­лируемой системы в интерактивном режиме (человек—машина). Реальная работа с имитационной моделью предполагает ответы на вопрос: «Что будет, если...?». По сути дела имитационная мо­дель представляет собой машинный аналог реально существую­щего объекта (явления или процесса), синтезированный исходя из понимания разработчиками моделируемых закономерностей. В этой связи, изменяя параметры модели, определяющие ее мно-

гоэтапный характер, можно получить динамические оптимиза­ционные решения.

Линейно-динамические модели содержат в основе постановку оптимизационных задач, сделанную Л. В. Канторовичем. Эта мо­дель является обобщением известной «основной задачи произ­водственного планирования» (Гранберг А. Г. Моделирование со­циалистической экономики. — М.: Экономика, 1998. — С. 224) и формулируется как задача линейного программирования. Будучи теоретической, универсальной моделью, она применима практи­чески неограниченно для моделирования динамики самых раз­нообразных процессов и объектов как на микро-, так и на макро­экономических уровнях.

Впоследствии, используя идею этой модели, была сформули­рована и решена Г. В. Гавриловым и Э. Н. Крылатых линейно-динамическая задача для пятилетнего планирования развития аг­ропромышленного комплекса с включением инвестиционных блоков.

В настоящее время наиболее известными и апробированны­ми являются линейно-динамические модели перспективного развития сельскохозяйственного предприятия (Гаврилов Г. В. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропром-издат, 1990. — С. 255—279) и оптимизации проекта развития сельскохозяйственного предприятия (КошелевВ. М., Ермако­ва Е. А. Линейно-динамическая модель оптимизации проекта развития сельскохозяйственного предприятия. — МСХА, 1996.-С. 11-38).

Все линейно-динамические модели независимо от постановки задачи и уровня иерархии имеют сходные черты. Их структура — блочно-диагональная (рис. 25).

Модель включает п основных блоков, где п — число времен­ных циклов (дней, месяцев, лет и т. д.) в зависимости от выбран­ного такта модели. Основные блоки описывают статическое со­стояние объекта на момент /. Каждый последующий блок связан с предыдущим посредством подблока увязки, в котором отража­ются условия перехода системы из состояния / в состояние (/+ 1). Общий связующий блок включает сквозные для всего мо­делируемого периода ограничения и единую для всех временных циклов целевую функцию.

Линейно-динамические модели оптимизации структуры про­изводства и состава земельных угодий сельскохозяйственных предприятий на перспективу тесно связаны с традиционными статическими моделями перспективного развития хозяйств. Каждый основной блок, по существу, повторяет модель оптими­зации производственной структуры в статической постановке для соответствующего годичного цикла перспективного разви­тия. Однако в них включаются вспомогательные способы и до-

1 -й блок

Подблок увязки

1-го и 2-го блоков ___

2-й блок

Подблок увязки 2-го и 3-го блоков

Вспомога­тельный блок

Подблок увязки (л-1)-гои и-го блоков

Общий связующий блок

Рис. 25. Структурная схема линейно-динамической модели

полнительные условия, определяющие динамику описываемых процессов.

Например, если обозначить х_{ — площадь зерновых, х₂ — пло­щадь кормовых культур, возделываемых на пашне, х₃ — площадь технических культур, х₄- площадь естественных пастбищ, х₅ — площадь естественных сенокосов и считать, что в первый год ос­воения проекта они останутся неизменными, ограничения по зе­мельным ресурсам примут вид:

1-й год:

пашня

Х[+ х₂ + х₃ = х$, х₆ < 2000; сенокосы и пастбища

х₄ < 1000, х₅< 500,

где х₆ — общая площадь пашни первого года освоения проекта; 2000, 1000 и 500 — соответственно фактические площади пашни, пастбищ и сенокосов в хозяйстве.

Во втором блоке, характеризующем второй год освоения про­екта, площади зерновых, технических и кормовых культур будут обозначаться уже как х₇, х₈, х₉. Если во второй год наметить трансформацию в пашню пастбищ площадью не более 300 га (х₁₀< 300га), сенокосов площадью не более 100 га (хц< 100 га) и обозначить расчетные площади пашни, пастбищ и сенокосов как

*12, *1з, *14> ^то ограничения по земельным ресурсам в блочной модели примут следующий вид:

2-й год:

пашня

Х₇ + Х₈ + Х₉ = А'₁₂,

х₁₂< 2000 + х₁₀ + хц, х₁₀< 300, х_и< 100;

сенокосы и пастбища

х₁₃< 1000-х₁₀, х₁₄< 500 —х_п.

Таким образом (схематично) осуществляется увязка земельно-ресурсных характеристик задачи.

В общем виде ресурсные параметры (правые части ограниче­ний) определяют с учетом постепенного выбытия части средств, которые были в наличии на начало моделируемого периода (тех­нические ресурсы и другие основные производственные фонды). Формула для расчета объема первого ресурса в /-цикле (Д₍) будет иметь вид

Вц _ ]

^вк=^ви-\ >

л,

где В_ы _[ — размер ресурса первого вида в предыдущем (/-1) цикле; л, —число циклов.

Практически все виды линейно-динамических моделей отли­чаются от статических оптимизационных моделей также особен­ностями расчета технико-экономических коэффициентов задачи. Отдельные коэффициенты рассчитывают с помощью трендовых моделей с предварительным выравниванием ретроспективных динамических рядов или с использованием производственных функций и эконометрических моделей. Для прогнозирования не­которых других коэффициентов применяют специальные при­емы аппроксимации, благодаря которым нелинейные зависимос­ти сводятся к линейным, что позволяет упростить процесс опре­деления прогнозных значений этих коэффициентов.

Для решения линейно-динамических задач в практике эконо­мико-математического моделирования используют следующие способы:

линейного программирования (симплекс-метод) для решения задач с блочно-диагональной структурой;

учитывая то, что матрицы блочных задач имеют большую раз­мерность, в ряде случаев линейно-динамическую модель разби­вают на несколько задач (по годам), которые решают самостоя-

тельно по стандартным программам симплекс-метода (при этом осуществляют увязку выходных и входных данных предыдущих и последующих задач).

Для решения линейно-динамических задач в сельском хозяй­стве, а также на микро- и макроэкономическом уровнях в других отраслях народного хозяйства могут применяться специально разрабатываемые схемы и методы решения (Динамическое про­граммирование (Математические методы исследования опера­ций). Методические указания для самостоятельной работы сту­дентов/ Н. Г. Лядина, И. И. Плетцова, В. П. Лядин. — МСХА, 1996. — 32 с; Замков О. О., Черемных Ю. А., Толстопятенко А. В. Математические методы в экономике. — М.: Дело и сервис, 1999. - 2-е изд. - С. 204-214).

18.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В параметрическом программировании коэффициенты целе­вой функции, технико-экономические коэффициенты и свобод­ные члены системы ограничений в общей постановке задачи считаются зависимыми от некоторого переменного параметра I, например колебаний цен на продукцию. Необходимо найти оп­тимальные планы и установить для каждого из них интервал из­менения параметра /.

В параметрических моделях работает фактор «последствия», когда различные этапы функционирования системы в опреде­ленном интервале изменения параметра I взаимосвязаны и взаи­мообусловлены. Поэтому для их решения применяются специ­альные методы.

Сформулируем наиболее часто встречающуюся задачу пара­метрического программирования, в которой зависимыми от па­раметра I являются коэффициенты целевой функции.

Математическая формулировка данной задачи следующая.

Дана система ограничений вида

а₁₁Х1+а_пх₂+...+а_1пх_п< а_ь

°тЙ ^+ат2^х2⁺-^+атп^хп-^ат' х_у> 0, 7=1, 2,..., «.

Нужно найти максимум целевой функции 2{.

г₁=1(с_]+а_]1){-_Х]\

У=1

в которой числа су и 4 известны и постоянны, а величина I явля­ется переменным параметром, способным принимать любые значения на отрезке [а, р], а< /< р.

В этой задаче может быть несколько оптимальных планов, по­скольку коэффициенты ее функционирования переменны. Тре­буется найти все эти планы и установить для каждого интервал изменения параметра I

Такую формулировку получают землеустроительные задачи при колебаниях урожайности сельскохозяйственных культур и продуктивности животных, а также при изменяющихся ценах на продукцию.

Данная задача может решаться с использованием метода мо­дифицированных жордановых исключений. Последовательность решения при этом рекомендуется следующая (Полунин И. Ф. Математическое программирование в землеустройстве. — Минск, Вышэйшая школа, 1972. — С. 72—78).

1. Принимается, что / = а. Тогда в целевой функции 2_а все ко­эффициенты станут постоянными:

2_а=^[с_]+с1_]а)(-х_]).

Запишем систему ограничений и эту целевую функцию в жор-данову таблицу. В таблице предусмотрим две строки для коэффи­циентов с, - и йр что позволит в дальнейшем на любом этапе рас­сматривать целевую функцию 2, для произвольного параметра / (табл. ВО).

130. Исходная таблица

У\ =

У2 =

а-,

с, + ^а с.

с₂ + Ла с-,

с„ + а „а с„ ё„

Обычным симплекс-методом находим опорный и оптималь­ный план, преобразуя на каждой итерации последние две строки (табл. 131).

131. Оптимальный план

Продолжение

В связи с тем что план в последней таблице является опти­мальным, все коэффициенты ^„-строки будут неотрицательны­ми, то есть

р^+д_^< x> 0, у= 1, 2,..., п.

2. На втором этапе определяем такие значения параметра /, для которых план будет оставаться оптимальным. Для этого не­обходимо, чтобы все коэффициенты функции 2₍ были неотрица­тельными:

р^+^^{> о,

р_п+д_п(> 0.

Из решения этой системы неравенств и будут получены нуж­ные значения /.

Разделим все неравенства данной системы на две группы, ис­ходя из знаков коэффициентов ц_}. В одну группу отнесем нера­венства, в которых д] > 0, в другую — те, где ц^ < 0.

Возьмем первую группу неравенств:

Gt; 0.

Перенося /> _у вправо и деля на д^ > 0, отчего смысл неравенства не нарушается, находим

{> -

Чисел — будет получено столько, сколько неравенств ока-жется в группе, и параметр /должен быть больше каждого из них.

Если определить / по наибольшему из этих чисел, то остальные неравенства будут выполнены автоматически. Поэтому

тах

' р"

Ч)