Представлены в виде дискретного вариационного ряда)

Выборочная дисперсия характеризует меру рассеяния случайной величины относительно математического ожидания (выборочного среднего значения). Чем значение больше, тем данные более разбросаны.

Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех единицах, что и значения случайной величины, то, как следует из формул, задающих дисперсию, последняя выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, взяв в качестве меры рассеивания арифметический квадратный корень из дисперсии.

Рассмотрим основные свойства выборочной дисперсии, считая при этом, что наблюдаемые данные представлены в виде дискретного вариационного ряда.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся.

3. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число, то имеет место равенство

Ď (СХ)=С² Ď (Х)

4. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочные дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся.

5. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной и квадратом ее среднего арифметического, т. е.

Ď Х=˜ Х² -(˜ Х)²

9. Что называется модой, медианой вариационного ряда?

(определение моды и медианы; особенности их применения; определение модального интервала)

Основными структурными показателями вариационного ряда являются: мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающееся в совокупности значение признака. Для дискретного вариационного ряда мода определяется по частотам вариант и соответствует варианте с максимальной частотой.

Особенности применения моды:

1) если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды;

2) если две соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то мода вычисляется как среднее арифметическое этих вариант;

3) если две несоседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называется бимодальным;

4) если таких вариант более двух, то ряд полимодальный.

Определение модального интервала в случае интервального вариационного ряда:

1) с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте;

2) при неравных интервалах - по наибольшей плотности.

Применение моды: в практике мода и медиана иногда используются вместо средней арифметической или вместе с ней; фиксируя средние цены товаров или продуктов на рынке, записывают наиболее часто встречающую­ся цену на рынке (моду цены).

Медиана - это значение изучаемого признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности.

Медиана интересна тем, что показывает количественную границу значение варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности.

Применение свойства медианы: при проектировании оптимального положения остановок общественного транспорта; при проектировании складских помещений; при сооружении бензозаправок и т. д.

10. Рассказать о нахождении медианы при различном объеме выборки.

При нечетном объеме выборки (нечетном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана равна серединному члену вариационного ряда.

При четном объеме выборки (четном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана находится по формуле

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал). Таким интервалом будет такой, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Кумулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Медиана обладает важными свойствами, которые в некоторых случаях дают ей преимущество перед другими средними величинами. Например, если при упорядоченном размещении некоторого признака " крайние" значения сомнительные и к тому же резко отличаются от основной массы данных, то в качестве меры центральной тенденции целесообразно использовать медиану, поскольку на ее величину эти " крайние" значения никакого влияния не оказывают, и в то же время они могут существенным образом повлиять на значение среднего арифметического.

11. Сформулировать алгоритм вычисления и по методу произведений.

Для вычисления выборочной средней (), выборочной дисперсии (), при достаточно большом объеме выборки () применяют метод произведений. Вводят условные варианты u_i, которые вычисляют по формуле

,

где , h — шаг (длина интервала).

Составляется расчетная таблица.

Контроль вычислений ведут по формуле

.

Пользуясь таблицей, вычисляют условные начальные моменты по формулам

Тогда выборочную среднюю находят по формуле

Выборочную дисперсию находят по формуле