Из системы с большим основанием - в систему с меньшим

Билет

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Непозиционные системы счисления - это системы, в которых значение символа не зависит от его места расположения в числе.

Позиционные системы счисления - это системы. в которых значение символа зависит от его места расположения в числе.

К основным характеристикам систем счисления относят их цифры и основания систем. Кроме того, важной характеристикой является количество разрядов n чисел системы. Очевидно, что чем больше разрядов в числе, тем более количество чисел можно записать.

Минимальным числом во всех системах счисления при рассмотрении чисел без знаков является ноль. Ноль является числом, во всех разрядах которого записаны нули.

Минимальным значащим числом является число, в младшем разряде которого записана единица. Во всех системах счисления минимальным значащим числом (не нулевым) является единица.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в m разрядах дробной части равно: Nmin=P-m

Максимальным значащим числом будет число, во всех разрядах которого стоят максимальные цифры:

· для двоичной системы – 1111111…..1111;

· для восьмеричной системы – 77777…..77777;

· для десятичной системы – 99999…….999999;

· для шестнадцатеричной системы – FFFFFF……FFFFFFFF.

“Веса” самых старших цифр в числах всех систем счисления при n – разрядах определяются как Pn-1. При прибавлении к этим максимальным числам единиц младшего разряда во всех разрядах установятся нули и возникает перенос в более старший разряд (n+1). Данный разряд будет иметь “вес” Pn. Тогда можно утверждать, что максимальное целое число, которое может быть представлено в n – разрядах: Nmax=Pn – 1

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0).

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Чтобы перевести число в некоторую систему счисления с основанием M (цифрами 0,..., M-1), иначе говоря, в M-ичную СС, нужно представить его в виде:

C = a_n * Mⁿ + a_n-1 * M^n-1 +... + a₁ * M + a₀.

a1..n - цифры числа, из соответствующего диапазона. a_n - первая цифра, a₀ - последняя.

Сравните эту запись с представлением числа, например, в десятичной системе.

Из системы с большим основанием - в систему с меньшим

Очевидно, чтобы найти такое представление, можно

1. разделить число нацело на M, остаток - a0.
2. взять частное и проделать с ним шаг 1, остаток будет a1...

И так, пока частное не равно 0.

Искомое число будет записано в новой системе счисления полученными цифрами.

Общий принцип 2: Если основание одной системы - степень другого, например, 2 и 16, то перевод можно делать на основании таблицы:

2 -> 16: собираем с конца числа четверки (16 = 2⁴) чисел, каждая четверка - одна из цифр в 16-ричной с-ме. Пример ниже.

16 -> 2 - наоборот. Создаем четверки по таблице.

Просто вычисляем C = a_n * Mⁿ + a_n-1 * M^n-1 +... + a₁ * M + a₀, где М - старое основание. Вычисления, естественно, идут по в новой системе счисления.

Например: из 2 - в 10: 100101 = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹+1=32+4+1=37.

Вообще говоря, можно сделать много хитрых трюков - в примерах реализаций они есть.

Много вопросов задается относительно дробей и отрицательных чисел.

Отрицательные - модуль числа не меняется при переходе к другой СС, посему: запомнить знак, применить стандартный метод - поставить знак. Дальше буду говорить уже о положительных числах

· Десятичные дроби - переношу запятую, запоминая, на какую степень основания умножил. Например, перенос в троичном числе запятой с 4-го места от конца - то же, что и умножить его на 34: 121201, 2112 * 34 = 1212012112. После стандартной процедуры с положительными числами поделить на этот множитель получившуюся дробь. Получится периодическая дробь - значит судьба Ваша такая. Помните: в 3-чной системе 1/3 = 0.1, а в десятичной - 0, (3). Неблагодарное это дело - с десятичными дробями оперировать.

· Обыкновенные - правильность дроби сохраняется относительно преобразований, значит то же - стандарт по числителю и знаменателю.

· Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую. Как правило, это происходит через промежуточный перевод в десятичную систему: O, Yp> O, Y10; O, Y10 > O, Yq

1. Перевод O, Y10> O, Yq

a. умножить исходную дробь в десятичной с на q, выделить целую часть – она будет первой цифрой новой дроби, отбросить дробную часть

b. для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробной частей повторять, пока в дробной части не останется 0, или не будет достигнута желаемая точность. Появляющиеся при этом целые будут цифрами новой дроби

c. записать дробь в виде последовательности цифр после ноля с разделителем в порядке их появления

• Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем представления числа х по степеням основания P. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием Q, т. е. основание P и цифры исходного числа должны также быть выражены в системе счисления с основанием Q. На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.
• Для смешанной: целая часть и дробная считается отдельно, а потом записывается 2 ответа

Билет