Математическая индукция

Один из важнейших методов доказательства в математике основан на аксиоме (принципе) математической индукции. Пусть 1) свойство А имеет место приn — 1; 2) из предположения о том, что свойствомА обладает какое-либо натуральное число л, следует, что этим свойствомА обладает и числоn+1. Тогда делаем заключение, что свойствомА обладает любое натуральное число.

Математическая индукция используется при выведении ряда формул арифметической и геометрической прогрессии, формул бинома Ньютона и др.

39.умозаключения по аналогии

В практике мышления часто возникает задача перехода к знанию одной и той же степени общности, т.е. от единичных суждений к единичным, от частных – к частным, от общих – к общим. Основанием таких умозаключений служит сходство объектов, их свойств или отношений. Сходство – это отношение между объектами, состоящее в наличии у рассматриваемых объектов общих признаков. Сходство объектов определяется двумя факторами:

(1) числом общих признаков и (2) степенью существенности этих признаков. На наших представлениях о сходстве объектов и возможности продолжить это сходство основываются умозаключения по аналогии.

Умозаключение по аналогии – это недедуктивное умозаключение, в котором суждение о присущности признака некоторому объекту выводится на основании его сходства с другим объектом.

Как вид умозаключения аналогия возможна в мышлении потому, что сами предметы и явления, будучи качественно определенными, а значит и отличными друг от друга, в то же время имеют объективное сходство между собой. А так как все в мире взаимосвязано, то сходство в одном отношении может быть необходимым образом связано со сходством в других отношениях. Это и служит объективным основанием для данного вида умозаключений. В процессе практической деятельности рассуждения по аналогии необходимы в первую очередь потому, что нередко нельзя познать объект иначе, как в сравнении с другими, или же потому, что сравнение, сопоставление и уподобление позволяют получить знание о нем проще, быстрее и легче. Например, между теплотой и электричеством есть сходство в способе распространения. Это и дало возможность в свое время перенести уравнения для теплоты на область электрических явлений. Множество примеров можно найти в исследованиях и прогнозах историков и политиков при анализе общественных явлений в той или иной стране.

Структура умозаключения по аналогии сходна со структурой других типов умозаключений. Здесь также выделяются посылки и заключение, которые находятся в определенной логической связи между собой. Но есть и особенности.

Посылки в аналогии – это суждения о двух объектах или группе объектов, имеющих не тождественные, а лишь сходные признаки, которые называются уподобляемые. Один из объектов в этом случае называется моделью, а другой – прототипом или оригиналом. При этом известно, что у модели есть признак, относительно которого неизвестно обладает им оригинал или нет.

Заключение и есть суждение, в котором утверждается наличие этого признака, который называется переносимым.

Логическим основанием заключения выступает наличие логической связи между посылками – отношение сходства их по содержанию, выражающее объективное сходство самих объектов.

Структуру умозаключения по аналогии можно представить схемой:

S1 есть Р1, Р2, Р3...Рn

S2 сходен с S1 (Р1, Р2, Р3...)

Вероятно, S2 есть Рn

Умозаключение по аналогии несостоятельно, если:

(1) признаки, служащие основанием аналогии, несущественны и (2) отсутствует связь между переносимым признаком и общими сходными признаками, служащими основанием аналогии.

Аналогия – это недедуктивное умозаключение. Это означает, что заключения этих умозаключений не являются достоверно истинными даже при истинности посылок, а только вероятно истинными. Повышение вероятности заключений, получаемых по аналогии, обеспечивает выполнение следующих требований, которые также называют условиями состоятельности умозаключений по аналогии:

1. Признаки, служащие основанием аналогии, должны быть существенными для рассматриваемых объектов.

2. Число общих признаков должно быть возможно большим.

3. Общие признаки должны охватывать различные стороны сравниваемых объектов.

4. Переносимый признак должен быть связан с общими признаками, составляющими основание аналогии.

Последнее условие о наличии связи между общими сходными и переносимым признаками – не только условие состоятельности аналогии, но и показатель степени обоснованности заключения: в тех случаях, когда можно с уверенностью сказать, что переносимый признак следует из общих, аналогию называют строгой. Следование означает, что переносимый признак необходимым образом связан с общими, сходными признаками (будучи, например, их следствием или, наоборот, причиной). В этом случае умозаключение достоверно.

Умозаключения по аналогии широко используются в научном исследовании, в моделировании, изучении общественной жизни, а также юридической практике, когда возникает противоречие между наличием общественных отношений, требующих правового регулирования, и отсутствием соответствующих прямых норм. Юридическая аналогия принимает две специфические формы: аналогии закона и аналогии права.

Аналогия закона применяется в тех случаях, когда требуется правовое регулирование тех или иных общественных отношений, прямо не предусмотренных законом или предусмотренных не полностью, но когда существуют нормы, регулирующие сходные отношения.

Аналогия права используется тогда, когда нет исходных правовых норм. Тогда приходится руководствоваться общими началами и смыслом соответствующей отрасли права или законодательства страны в целом. Значение аналогии определяется здесь тем, что она расширяет сферу применения существующих норм права и тем самым служит укреплению существующего правопорядка. Следует учитывать, что аналогия в юридической сфере носит специфический характер, и ее применение в судебной практике – сложная процедура, включающая не только чисто логические, но и правовые и даже политические аспекты.

Подводя итог осмыслению важнейшей формы нашего мышления - умозаключению, приведем сводную таблицу его разновидностей.

40.гопотеза. логическая структура гипотезы

В процессе познавательной деятельности человек стремится к достижению объективной истин. Но истина не дается в готовом виде. На пути к ней человек строит различного рода догадки, допущения, предположения, объясняющие причины или сущность исследуемого явления. Такие предположения в науке называются гипотезами.

Гипотеза (от греч. hypothesis - основание, предположение) - форма развития человеческих знаний, представляющая собой обоснованное предположение, объясняющее свойства и причины исследуемых явлений.

Термин «гипотеза» употребляется в двояком значении. Во-первых, как само предположение, объясняющее исследуемое явление (гипотеза в узком смысле). Во-вторых, как прием мышления в целом, включающий в себя выдвижение предположения, его развитие и доказательство.

Таких предположений может быть не сколько и все они нуждаются в проверке. Иногда они легко и быстро проверяются какими-то несложными действиями, указаниями на предметы, процессы и т. п. Проверка других предположений требует достаточно длительных и, по существу, исследовательских действий, направленных на то, чтобы исключить случайный результат. Дальнейшие исследования вносят поправки в эти объяснения. Гипотеза - форма связи известного знания с неизвестным.

Гипотеза - универсальная форма развития научных знаний и научного логического мышления. Это значит, что новое (развивающееся) знание всегда возникает первоначально в форме гипотезы, которая объясняет уже открытые явления и предсказывает новые. Построение гипотезы дает возможность переходить от отдельных научных фактов, относящихся к явлению, к их обобщению и познанию законов развития этого знания.

Данный процесс иногда называют гипотетико-дедуктивной моделью развития научных знаний.

Так, идея об атомистическом строении мира, которая зародилась в умах Левкиппа и Демокрита за две с лишним тысячи лет до открытия химической атомистики (в XIX в.) была гипотезой. И лишь после длительной ее проверки, подтверждения экспериментами и новых открытий эта гипотеза превратилась в научную теорию.

Эта схема в целом отражает и движение мысли следователя в процессе расследования преступлений, которое начинается с проблемы, выражаемой в вопросах: что произошло, было ли преступное деяние, если было, то кто, почему и как совершил данное преступление?

Искусство органов дознания и предварительного следствия состоит из творческих актов, проявляющихся:

а) в умении путем объективного исследования и наблюдения собрать и закрепить в протоколах основные моменты события, нарисовать картину преступления;

б) в умении дать правильную оценку и объяснение всех отдельных фактов, которые приобретают значение доказательственных улик в деле, и установить их связь;

в) в способности сделать обобщающие логические выводы и предположения, неизбежно вытекающие из всех установленных и проверенных фактических данных.

Построение гипотезы (как видно из вышеупомянутой схемы) всегда связано с проблемной ситуацией, т.е. сопровождается выдвижением предположения, объясняющего исследуемые явления. Оно выступает в форме отдельного суждения или системы взаимосвязанных суждений о свойствах единичных фактов или закономерных связей явлений. Суждение это всегда является проблематичным. Чтобы превратиться в достоверное знание, предположение подлежит научной и практической проверке.

Гипотеза - это не любая догадка, фантазия, допущение, а только обоснованное предположение, которое опирается на конкретные факты или является итогом анализа фактического материала. В соответствии с этим построение гипотезы - сознательный, закономерный, логический процесс.

Гипотеза представляет собой систему понятий, суждений и умозаключений. В отличие от рассмотренных уже нами форм абстрактного мышления она имеет сложный, синтетический характер. Ни одно отдельно взятое суждение, понятие или умозаключение еще не составляет гипотезы, а только большую или меньшую ее часть.

Все догадки, гипотезы, версии, которые строятся в процессе научного открытия, изобретения или в процессе расследования - воссоздания картины преступления - опираются на факты (знание единичных явлений), теоретические знания, основанные на фактах, на понимание и верную оценку их исследователем. Выдвигаемая на основе определенного знания об изучаемом круге явлений гипотеза играет роль руководящего принципа, направляющего и корректирующего дальнейшие наблюдения и эксперименты.

Как вероятностное знание, еще не доказанное логически и не настолько подтвержденное опытом, чтобы считаться достоверным, гипотеза не истинна и не ложна. О ней можно лишь сказать, что она неопределенна, т. е. лежит между истинностью и ложностью. Если гипотеза подтверждается, то она превращается в достоверное знание и становится частью теории. Если гипотеза не подтверждается, опровергается, то становится ложным знанием.

Рассмотрим логическую структуру гипотезы. Всякая гипотеза состоит из следующих элементов:

1)основание гипотезы - исходные данные - совокупность фактов или обоснованных утверждений, на которых основывается предположение;

2)форма гипотезы - совокупность умозаключений, которые являются результатом обработки исходных данных и ведут от основания гипотезы к основному предположению;

3)предположение (гипотеза в узком смысле слова) - выводы из фактов и утверждений, выражающих содержание гипотезы;

4)процедура проверки гипотезы, превращающая предположение в достоверное знание или опровергающая его.

Будучи одинаковыми по структуре, гипотезы различаются по своему содержанию и выполняемым функциям.

41.этапы разработки гипотезы

Гипотеза представляет собой процесс развития мысли. Безусловно, дать общий образец построения гипотезы для всех случаев жизни не представляется возможным. Это связано с тем, что условия для разработки гипотезы зависят от своеобразия практической деятельности, а также от специфики рассматриваемой проблемы. Тем не менее можно определить общие границы этапов, которые проходит мыслительный процесс в гипотезе.

Основными этапами разработки гипотезы являются:

1) выдвижение гипотезы;

2) развитие гипотезы;

3) проверка гипотезы.

Рассмотрим содержание и особенности каждого этапа более подробно.

Чтобы выдвинуть гипотезу, необходимо располагать некоторой совокупностью фактов, относящихся к наблюдаемому явлению, которые бы обосновывали вероятность определенного предположения, объясняли неизвестное. Поэтому построение гипотезы связано, в первую очередь, с собиранием фактов, имеющих отношение к тому явлению, которое мы объясняем, и не совпадающих с уже имеющимся объяснением.

На основании собранных фактов высказывается предположение о том, что представляет собой исследуемое явление, то есть формулируется гипотеза в узком смысле слова. Предположение высказывают в результате логической обработки собранных фактов. Факты, на основании которых выдвигается гипотеза, могут быть осмыслены логически в форме дедукции, индукции или аналогии. Выдвижение предположения составляет основное содержание гипотезы.

Предположение является ответом на поставленный вопрос о сущности, причине, связях наблюдаемого явления. В предположении заключено то знание, к которому приходят в результате обобщения фактов. Оно является той сердцевиной гипотезы, вокруг которой идет вся познавательная и практическая деятельность. Предположение в гипотезе - это, с одной стороны, итог предшествующего познания, то главное, к чему приходят в результате наблюдения и обобщения фактов; с другой стороны - это отправной пункт дальнейшего изучения явления, указание пути познания, определение направления, по которому должно идти все исследование. Гипотеза дает возможность не только объяснить имеющиеся факты, но и выявить новые факты, на которые еще не было обращено внимание. Так, гипотеза о неполной информированности субъектов профилактики на конкретном объекте (предприятии, учебном заведении) о состоянии преступности и правонарушений в коллективе требует сбора и анализа данных о правонарушающем поведении членов коллектива по месту жительства и работы, сопоставления сведений по объекту в целом и его подразделениям с данными учета органов МВД, данными судебной статистики за анализируемый период, экспертными оценками уровня латентной преступности и т. д. Логическая обработка этих данных дает возможность дальнейшего познания уровня правопорядка и законности на изучаемых объектах.

Предположение, чтобы стать гипотезой, должно удовлетворять следующим требованиям:

а) предположение не должно быть логически противоречивым;

б) предположение должно быть принципиально проверяемым.

42.виды гипотез

Различение гипотез осуществляется по следующим основаниям:

а) по сложности исследуемого объекта; б) по степени достоверности.

Общая гипотеза - это вид гипотезы, объясняющей причину явления или группы явлений в целом.

Частная гипотеза — это разновидность гипотезы, объясняющая какую-либо отдельную сторону или отдельное свойство исследуемого явления или события.

При этом необходимо иметь в виду, что деление гипотезы на общую и частную имеет смысл, когда мы соотносим одну гипотезу с другой. Это деление не является абсолютным, гипотеза может быть частной по отношению к одной гипотезе и общей по отношению к другим гипотезам. Так, общая гипотеза, объясняющая преступление в целом, будет являться частной при сравнении ее с гипотезой, объясняющей причины всей преступности в конкретном государстве.