Вероятностный подход к исследованию плавности хода автомобиля

Проведенный выше анализ предполагал заданную определенной функцией характеристику расположения неровностей дороги. В рассматриваемом примере неровности дороги описывались косинусоидой. Такой подход к исследованию колебаний автомобиля называется детерминированным.

В реальности расположение неровностей на дороге носит случайный характер. В этом случае имеет смысл вероятностный подход к исследованию плавности хода автомобиля.

Введем понятие случайной функции

y = f(t)

Математическое ожидание m_д этой функции в интервале ∆ t имеет вид:

m_д = (∫ y dt)/ ∆ t

Дисперсия этой функции имеет вид:

δ ² = ∫ (y - m_д)² dt)

Дисперсия определенным образом связана с частотой следования неровностей λ. Эта связь характеризуется так называемой спектральной плотностью Ф (λ) и определяется выражением:

δ ^{2 =} ∫ Ф (λ) d λ

Когда профиль опорной поверхности рассматривается, как случайная функция, его можно охарактеризовать функцией спектральной плотности.

Было установлено, что взаимосвязь между спектральной плотностью и пространственной частотой для различных дорог может быть аппроксимирована выражением

Ф_g (λ)= С_s λ ^–N

В этой формуле:

- Ф_g (λ)- функция спектральной плотности профиля дороги

- С_s и N – постоянные, характерные для различных видов дорог.

В табл. 10.1. приведены значения С_s и N для функций спектральной плотности различных дорог.

Таблица 10.1

Для анализа колебаний транспортного средства более обычным является выражение спектральной плотности профилей поверхностей в виде временной частоты в герцах, чем в виде пространственной частоты, поскольку колебания машины являются функцией времени. Преобразование пространственной частоты λ во временную частоту f (Гц) осуществляется с учетом скорости движения транспортного средства:

f (Гц) = λ (цикл /м) V (м/с)

Преобразование спектральной плотности профиля дороги, выраженной через пространственную частоту Ф_g (λ) во временную частоту Ф_g(f) также выполняется с учетом скорости транспортного средства V:

Ф_g(f) = Ф_g (λ)/V

Взаимосвязь между входными и выходными сигналами, характерная для любой системы, для транспортного средства представляет собой передаточную функцию, преобразующую входной сигнал, представляющий собой неровность поверхности в выходной сигнал, представляющий собой колебания машины

Передаточная функция, или функция частотной реакции определяется, как отношение выходного сигнала к входному в установившихся условиях.

Рассмотрим для примера порядок определения передаточной функции для одномассовой модели, изображающей свободные колебания подрессоренной массы при наличии амортизатора

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания такой массы, получено выше:

m d²z/dt + c (z-q) + h(dz/dt – dq/dt) = 0

Здесь: m – колеблющаяся масcа

z – перемещение подрессоренной массы;

q – вертикальная координата неровности дороги;

d²z/dt – ускорение подрессоренной массы;

dz/dt – скорость перемещения подрессоренной массы;

dq/dt – скорость изменения высоты неровности под колесом

В данном уравнении q представляет собой возмущение системы, вход, а z – перемещение подрессоренной массы – выход.

В такой интерпретации полученное уравнение можно представить в виде зависимости выхода от входа:

m d²z/dt + h dz/dt + c z = h dq/dt + c q;

Введем понятие «оператор дифференцирования «p» = d/dt

Тогда d²z/dt = p² z; dz/dt = p z; dq/dt = p q

Уравнении е колебаний подрессоренной массы в этом случае будет иметь вид:

m p² z + h p z + c z = h p q+ c q;

Представим полученное уравнение в виде зависимости выходного сигнала (z = z_вых) от входного сигнала (q = q_вх):

(m p² + h p + c) z = (h p+ 1) q

Перейдем к записи полученного уравнения в относительных формах, поделив оба члена на жесткость c:

[(m/ c) p² + (h/ c) p + 1] z_вых = [ (h/ c) p + 1] q_вх

Обозначим: m/ c = Т₁; h/ c = Т₂;

Тогда полученное ранее уравнение примет вид:

[Т₁ p² + Т₂ p + 1] z_вых = [Т₂ p + 1] q_вх

Передаточная функция W_пер по перемещениям представляет собой отношение выходного сигнала z_вых к входному q_вх

z_вых Т₂ p + 1

W_пер = ------- = -----------------

q_вх Т₁ p² + Т₂ p + 1

Спектральная плотность перемещений подрессоренной массы связана со спектральной плотностью неровностей дороги через передаточную функцию следующим образом:

Ф_g( z ) = │ W_пер│ ² Ф_g( q )

Аналогично можно составить передаточную функцию и определить взаимосвязь ускорений, дисперсий третьих производных колебаний подрессоренной массы и дороги.

Для примера приведем модуль передаточной функции по частоте от входного сигнала в виде перемещения к выходному сигналу в виде ускорения подрессоренной массы:

/ 1 + (2 ς f / f_п)²

│ W_пер│ = │ (2 π f)² √ ---------------------------------- │

[1 – (f / f_п)² ]² + [2 ς f / f_п]²

Здесь: ς – коэффициент демпфирования;

f – частота возмущения

f_п – собственная частота системы

После получения функции спектральной плотности для ускорения машины можно провести анализ в связи с выбранным критерием комфортабельности езды. Например, при принятии в качестве критерия утомляемости водителя или снижения пределов профессиональных навыков для вертикальных колебаний, предложенных Международным стандартом ISO 2631 необходимо преобразовать функцию спектральной плотности в корень среднеквадратичных значений ускорений в функции от частоты. Среднеквадратичное значение ускорений в определенной полосе частот можно определить интегрированием соответствующей функции спектральной плотности в том же диапазоне частот.