Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Отношения на множестве






     

    Бинарным отношением на множестве называется подмножество . Тот факт, что находится в отношении с , обозначается следующим образом:

    Областью определения бинарного отношения на множестве называется множество

    ,

    а областью значений – множество

    .

    Пример 2. Примеры отношений:

    – отношение равенства «=» на множестве состоит из всех пар вида , Если элемент находится в отношении равенства к элементу , то пишут ;

    – отношение неравенства «» на множестве R: ;

    – отношение делимости «|»на множестве : .

    Так как отношения определяются как подмножества, то над ними можно производить теоретико-множественные операции.

    Дополнением бинарного отношения на множестве считается множество

    .

    Например, если – отношение «=», то », а «».

    Обратным отношением(обращением) для бинарного отношения называется множество

    .

    Произведением отношений и называется отношение

    .

    Всякое подмножество называют -местным отношением на множестве .

    Совокупность всех отношений на множестве , для которых заданы операции суммы, произведения, разности, дополнения и обращения, образуют алгебру отношений (исчисление отношений) множества . В частности, последняя находит применение при разработке реляционных баз данных.

    Свойства отношений. Отношения делятся на различные виды в зависимости от того, обладают или не обладают некоторыми свойствами.

    1. Рефлексивность: . Например, рефлексивно на множестве прямых отношение «прямая пересекает прямую ».

    2. Симметричность: . Например, симметрично отношение параллельности на множестве прямых плоскости.

    3. Транзитивность: . Например, транзитивно на множестве отрезков отношение «отрезок длиннее отрезка ».

    Среди различных бинарных отношений выделяются два специальных типа, играющих важную роль в разнообразных математических конструкциях и доказательствах.

    Отношение эквивалентности. Отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение эквивалентности часто обозначают: .

    Пример 3. Примеры отношения эквивалентности:

    – отношение «одного роста» на множестве людей;

    – отношение подобия на множестве треугольников;

    – отношение принадлежности двух студентов к одной студенческой группе.

    Смежным классом (классом эквивалентности) элемента по эквивалентности называется множество

    .

    Любой элемент называется представителем этого класса.

    Множество классов эквивалентности элементов множества по эквивалентности называется фактор-множеством по и обозначается .

    С каждым отношением эквивалентности связано разбиение множества на непересекающиеся подмножества, которое лежит в основе всевозможных классификаций.

    Разбиением множества называется всякое представление этого множества в виде суммы непересекающихся подмножеств:

    , .

    Здесь – множество индексов, которое может быть конечным, счетным или несчетным. Множества называют слоями разбиения.

    Имеет место следующая теорема.

    Теорема 2. Для того чтобы отношение позволяло разбить множество на классы, необходимо и достаточно, чтобы было отношением эквивалентности.

    Пример 4. Плоскость разбита на прямые

    .

    Этому разбиению соответствует отношение такое, что если .

    Покажем, что каждая эквивалентность отвечает некоторому разбиению множества .

    Для каждого обозначим через класс всех элементов, эквивалентных :

    .

    Из рефлексивности следует, что . Далее, если , то есть , то . Из транзитивности имеем, что , то есть . Таким образом, . В силу симметричности отношения , то есть . Повторяя рассуждения, получим, что . Следовательно, . Таким образом, каждый элемент входит в некоторый класс и различные классы не пересекаются, то есть классы образуют разбиение множества , отвечающее отношению эквивалентности .

    Приведем примеры использования отношения эквивалентности для образования математических понятий.

    1. Понятие вектора. Сначала вводится понятие направленного отрезка, как пары точек . Два отрезка и объявляются эквивалентными, если середины отрезков и совпадают. Далее проверяется, что это отношение между направленными отрезками рефлексивно, симметрично и транзитивно. Класс эквивалентных отрезков и есть вектор.

    2. Построение рациональных чисел из целых. Рассмотрим всевозможные пары из целых чисел такие, что . Пары и объявляются эквивалентными, если . Далее проверяется рефлексивность, симметричность и транзитивность. Класс эквивалентных пар – рациональное число.

    Отношение порядка. Бинарное отношение на множестве называется отношением порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Последнее свойство означает: .

    Пример 5. Примеры отношений порядка:

    – отношение «» на множестве действительных чисел. Отношение «» порядком не является, так как оно не рефлексивно;

    – отношение «» на множестве подмножеств некоторого множества;

    – на множестве двоичных слов длины можно ввести отношение порядка следующим образом. Пусть и – двоичные слова. Положим , если для , 1, 2, …, .

    Пусть – отношение порядка на множестве . Элементы называются сравнимыми, если или , в противном случае – несравнимыми.

    Порядок называется линейным, если любые два элемента сравнимы. В противном случае говорят о частичном порядке. Множество с заданным на нем порядком (частичным или линейным) называется упорядоченным (частично или линейно). Первое отношение в примере 5 задает линейный порядок, два других отношения порядка – частичные. Например, двоичные слова 011 и 110 несравнимы.

    Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным (минимальным), если из того, что следует . Элемент называется наибольшим (наименьшим), если () для всех .

    Верхней (нижней) гранью подмножества частично упорядоченного множества называется такой элемент , что

    ().

    Точной в ерхней (нижней) гранью подмножества называется наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань для . Точная верхняя и точная нижняя грани обозначаются соответственно и .

    Линейный порядок на множестве называется полным, если каждое непустое подмножество множества имеет наименьший элемент. В этом случае множество называется вполне упорядоченным.

    Частично упорядоченное множество называется решёткой, или структурой, если для любых двух элементов существует точная нижняя и точная верхняя грани.

    Пример 6. Примеры решёток:

    – множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;

    – всякое линейно упорядоченное множество; причем, если , то .

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.