Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Понятие отображения множеств

Отображением множества во множество называется функциональное соответствие (обозначение ). Множество называется областью определения отображения, элемент – аргументом отображения, элемент – образом при отображении . При этом пишут . Часто, когда множества – числовые, отображение называют функцией. Если числовое только множество , то отображение называют функционалом.

Образом подмножества при отображении называется множество

.

Прообразом подмножества при отображении называется множество

.

По аналогии с соответствиями различают сюръективные, инъективные и биективные отображения.

Пример 1. Обозначим через . Рассмотрим следующие три отображения

,

которые зададим одной формулой: . Они различны, так как различны исходные множества. При этом является сюръективным, но не инъективным; – инъективно, но не сюръективно; – биективно.

Отображения вида называются преобразованиями множества . Преобразование называется тождественным, если .

Пусть и – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение , определяемое следующим образом:

.

Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.

Операция суперпозиции ассоциативна: , где , , – отображения.

Пусть и . Отображение называется обратным к отображению (а отображение обратным к ), если

, .

Обратное отображение обозначается . Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.

Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Пусть .

Необходимость. Пусть существует обратное отображение . Рассмотрим и . Тогда , где – прообраз при отображении . Таким образом имеет прообраз , т. е. сюръективно.

Далее, если , причем , то . Следовательно, , т. е. и инъективно. Отсюда биективно, и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть биективно. Определим отображение следующим образом. Положим , если . В силу биективности отображение определено на всем , и .