Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Понятие отображения множеств






     

    Отображением множества во множество называется функциональное соответствие (обозначение ). Множество называется областью определения отображения, элемент аргументом отображения, элемент образом при отображении . При этом пишут . Часто, когда множества – числовые, отображение называют функцией. Если числовое только множество , то отображение называют функционалом.

    Образом подмножества при отображении называется множество

    .

    Прообразом подмножества при отображении называется множество

    .

    По аналогии с соответствиями различают сюръективные, инъективные и биективные отображения.

    Пример 1. Обозначим через . Рассмотрим следующие три отображения

    ,

    которые зададим одной формулой: . Они различны, так как различны исходные множества. При этом является сюръективным, но не инъективным; – инъективно, но не сюръективно; – биективно.

    Отображения вида называются преобразованиями множества . Преобразование называется тождественным, если .

    Пусть и – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение , определяемое следующим образом:

    .

    Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.

    Операция суперпозиции ассоциативна: , где , , – отображения.

    Пусть и . Отображение называется обратным к отображению (а отображение обратным к ), если

    , .

    Обратное отображение обозначается . Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.

    Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.

    Доказательство. Пусть .

    Необходимость. Пусть существует обратное отображение . Рассмотрим и . Тогда , где – прообраз при отображении . Таким образом имеет прообраз , т. е. сюръективно.

    Далее, если , причем , то . Следовательно, , т. е. и инъективно. Отсюда биективно, и необходимость доказана.

    Достаточность. Пусть биективно. Определим отображение следующим образом. Положим , если . В силу биективности отображение определено на всем , и .

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.