Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Розділ 4. Енергія електростатичного поля






    §6. Енергія електростатичного поля

    6.1. Енергія точкових зарядів

    Розглянемо систему з двох точкових зарядів. Знайдемо алгебраїчну суму елементарних робіт сил F1 i F2, з якими взаємодіють заряди. Нехай в системі відліку К за час ∆ t заряди здійснили переміщення і , тоді робота цих сил чисельно дорівнює

    .

    Враховуючи те, що сила згідно з третім законом Ньютона, вираз для роботи можемо переписати у вигляді:

    .

    Величина в дужках – переміщення заряду 1 відносно заряду 2 в системі К’, яка жорстко зв’язана з зарядом 2 і переміщується з ним поступально по відношенню до даної системи К.

    Переміщення заряду 1 в системі К може бути представлене як переміщення системи К’.

    Тоді

    Рис.6.1

    З даного виразу бачимо, що сума елементарних робіт в довільній системі відліку К завжди дорівнює елементарній роботі, яку здійснює сила, яка дії на один заряд в системі відліку, де інший заряд знаходиться в стані спокою. Тобто, робота δ А 12 не залежить від вибору К -ої системи відліку.

    Сила F1, яка діє на заряд 1 з боку заряду 2 є консервативною і тому робота даної сили по переміщенню на dl1 може бути представлена як зменшення потенціальної енергії заряду 1 в полі заряду 2, або як зменшення потенціальної енергії взаємодії розглядуваної пари зарядів. Тобто, . Потенціальна енергія W12 залежить лише від відстані між зарядами.

    Перейдемо до системи з трьох зарядів. Роботу, яку здійснюють всі сили взаємодії при переміщенні всіх зарядів можна представити як суму елементарних робіт всіх трьох пар взаємодій.

    .

    Але для кожної пари взаємодій . І тому елементарна робота δ А буде визначатися як:

    ,

    де W – повна енергія взаємодії системи зарядів. Кожен доданок залежить від відстані між відповідними зарядами і тому потенціальна енергія взаємодії є функцією конфігурації системи зарядів.

    Подібні міркування характерні для системи з будь-яким числом зарядів.

    Отже кожній конфігурації довільної системи зарядів має своє значення енергії і робота всіх сил взаємодії при зміні конфігурації буде чисельно дорівнювати зменшенню потенціальної енергії.

    . (6.1)

    Знайдемо вираз для потенціальної енергії W. Для цього розглянемо систему з трьох точкових зарядів.

    .

    Перетворимо цю суму наступним чином: представимо кожний доданок Wik у вигляді:

    (оскільки Wik=Wki).

    Тоді повна енергія взаємодії перепишеться у вигляді:

    .

    Згрупуємо члени з однаковими першими індексами:

    .

    Кожна сума в круглих дужках – це енергія Wi взаємодії і -го заряду з двома іншими зарядами. Тому останній вираз можемо записати як суму

    .

    Узагальнення на систему із довільного числа зарядів очевидне, бо ясно, що при проведенні розрахунків і міркувань вираз не залежить від числа зарядів. Тому енергія взаємодії системи зарядів в загальному випадку:

    . (6.2)

    Враховуючи, що з означення потенціалу потенціальна енергія чисельно дорівнює добутку заряду на потенціал поля, в якому він знаходиться

    ,

    де Qi – і -ий заряд системи, φ і потенціал, створений в місці знаходження і -го заряду всіма іншими зарядами системи. Підставимо цей вираз в формулу (6.2) і отримаємо кінцевий вираз для енергії взаємодії системи точкових зарядів.

    . (6.3)

    Якщо заряди розподілені неперервно, то розкладаючи систему зарядів на сукупність елементарних зарядів і переходячи від сумування до інтегрування у (6.3) отримаємо, що

    , (6.4)

    де φ – потенціал, створений всіма зарядами системи в елементі об’ємом dV. Аналогічний вираз можна записати при розподілі зарядів по поверхні:

    .

    Можна помилково вважати, що рівняння (6.4) – це лише видозмінений вираз (6.3), який відповідає заміні представлення про точкові заряди представленням про неперервний розподіл зарядів. Насправді, ці вирази відрізняються за змістом. Виникнення розбіжності полягає в різному змісті потенціалу φ.

    Нехай, система складається з двох кульок, які мають заряди Q1 i Q2. Відстань між кульками набагато більша, ніж розміри самих кульок, тому заряди Q1 i Q2 можна вважати точковими. Знайдемо енергію системи за допомогою обох формул. Тоді

    ,

    де φ 12 потенціал, створений другим зарядом, в місці знаходження першого. Аналогічний зміст має потенціал φ 21.

    Згідно формули (6.4) ми повинні розбити заряд на нескінченно малі заряди величиною ρ dV і кожен з елементів помножити на потенціал, створений не лише іншими кульками, а й елементами даної кульки і, таким чином, результат буде інший.

    ,

    де W1 – енергія взаємодії елементів заряду першої кульки, W2 – енергія взаємодії елементів заряду першої кульки, W12 – енергія взаємодії елементів заряду першої кульки з елементами заряду другої кульки.

    Енергії W1, W2 називаються власними енергіями зарядів Q1 і Q2 відповідно, W12 – енергія взаємодії зарядів Q1 і Q2.

    Таким чином, розрахунок енергії за формулою (6.3) дає лише величину W12, а за формулою (6.4) маємо повну енергію взаємодії (разом з власними енергіями зарядів).

    Використовуючи формулу (6.4) можна одержати енергію зарядженого провідника і конденсатора.

    6.2. Енергія усамітненого зарядженого провідника

    Нехай провідник має заряд Q і потенціал φ, оскільки значення потенціалу в усіх точках, де знаходиться заряд однаковий, то його можна винести за знак інтегралу і тоді під інтегралом залишиться лише величина заряду на провіднику (див. формулу (4)). І враховуючи, що

    . (6.6)

    6.3. Енергія зарядженого конденсатора

    Нехай Q і φ – заряд і потенціал позитивно зарядженої обкладки конденсатора. Згідно (6.4) потенціальну енергію можна розбити на дві частини для двох обкладок:

    .

    Так як Q+ = - Q- , то

    ,

    U=∆ φ – різниця потенціалів на обкладках конденсатора.

    . (6.7)

    Ці формули визначають повну енергію взаємодії.

    Формули (6.6) і (6.7) також справедливі при наявності діелектрика.

     

    6.5. Енергія електростатичного поля

    Формула (6.4) визначає електричну енергію будь-якої системи через заряд і потенціал, повну енергію можна також виразити через напруженість електричного поля.

    Розглянемо плоский конденсатор, не враховуючи змін поля біля країв пластин (тобто нехтуючи крайовим ефектом). Енергія такого конденсатора визначається формулою (6.7).

    .

    Підставимо сюди вираз для ємності плоского конденсатора :

    .

    Оскільки відношення є напруженістю електричного поля, а добуток – об’єм між простору між обкладками конденсатора, остаточно маємо:

    . (6.8)

    Формула справедлива для однорідного поля, який заповнює об’єм V.

    Якщо діелектрик ізотропний, враховуючи, що D=ε ε 0E можна також записати

    . (6.9)

    Підінтегральний вираз має зміст енергії поля, яке знаходиться в об’ємі dV, що приводить до ідеї про локалізацію енергії в самому полі. З останніх двох формул слідує, що електрична енергія розподілена в просторі з деякою об’ємною густиною енергії ω.

    . (6.10)

    Остання формула справедлива лише для ізотропного діелектрика, для якого виконується співвідношення між поляризованістю і напруженістю зовнішнього поля

    .

    Питання для самоконтролю

    1. Як визначається енергія точкових зарядів?

    2. Як визначається енергія заряжених провідника та конденсатора?

    3. Як визначається енергія електростатичного поля?

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.