Опис векторного поля

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Нехай рух рідини характеризується полем вектора швидкості. Об’єм рідини, який протікає за одиницю часу через деякий переріз S, називається потоком рідини через цю поверхню. Щоб знайти потік потрібно розбити поверхню на елементарні ділянки ∆ S.

Розглянемо поле вектора напруженості. Будемо вважати, що густота ліній напруженості буде дорівнювати по модулю самому вектору напруженості і тоді число ліній, які будуть пронизувати елементарну площину dS буде знаходитися, як добуток EdScosα (нормаль n до поверхні буде складати кут α з вектором Е). Це і є потік dФ вектора Е через площину dS.

Е_n – проекція Е на нормаль n, dS – вектор, модуль якого чисельно дорівнює dS, а напрям співпадає з напрямом нормалі до площини. Нормаль може бути направлена в обидва боки.

Якщо є поверхня довільної форми, то потік визначається інтегруванням

Потік вектора Е – алгебраїчна величина, залежить від вибору напряму нормалі n і конфігурації поля вектора напруженості.

Запишемо теорему Гауса, яка в деяких випадках спрощує знаходження напруженості електричного поля: потік вектора напруженості через замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які містяться всередині цієї поверхні, поділеній на ε ₀:

Розглянемо поле одного заряду Q. Нехай, даний заряд знаходиться в деякій замкненій поверхні S (рис.2.3).

Розглянемо потік вектора напруженості через деякий елемент dS.

Величина

, dω – кут, який опирається на дану поверхню з вершиною в точці, де знаходиться заряд Q.

Інтегрування по площі S тотожне інтегруванню по всьому куту ω. Проінтегрувавши, отримаємо:

Коли електричне поле створене системою зарядів Q₁, Q₂, Q₃,... за принципом суперпозиції полів маємо:

Якщо заряд знаходиться в замкненій поверхні, то він чисельно дорівнює

і він дорівнює нулю, якщо знаходиться ззовні поверхні.

Нехай заряд рівномірно розподілено по об’єму V. Кожен елементарний об’єм dV утримує точковий заряд, що дорівнює ρ dV і тоді в правій частині формули (3) матимемо:

Інтегрування (2.4) ведемо лише по об’єму, який знаходиться всередині замкненої поверхні.

В той час, коли саме поле вектора напруженості залежить від конфігурації всіх зарядів, потік Е крізь деяку замкнену поверхню S визначається лише алгебраїчною сумою зарядів всередині S, а це означає, що якщо перемістити заряди, то поле напруженістю Е зміниться усюди і зміниться потік вектора Е через дану площу S. Але, якщо переміщення заряду відбулося без перетину поверхні S, то потік через дану поверхню залишиться незмінним, хоча саме поле напруженості може змінитися і досить суттєво.

Для визначення дивергенції вектора напруженості потрібно знайти диференціальну форму теореми Гауса і знайти зв’язок між об’ємною густиною заряду і зарядом, розподіленим в цьому об’ємі.

Представимо заряд в деякому об’ємі V, що охоплений замкненою поверхнею S. Внутрішній заряд Q визначається за формулою:

де < ρ > − середнє по об’єму значення об’ємної густини заряду.

Підставимо цей вираз в рівняння теореми Гауса (2.3):

Спрямуємо даний об’єм до нуля, стягуючи його до точки поля, яка нас цікавить. Очевидно, що при цьому < ρ > буде прямувати до значення ρ в даній точці. Отже, відношення в лівій частині (2.5) буде прямувати до

Величину, яка є границею відношення

називають дивергенцією поля напруженості Е.

Аналогічно визначається дивергенція будь-якого іншого векторного поля. З (2.4) слідує, що дивергенція вектора Е є скалярною функцією координат. Щоб отримати div потрібно проінтегрувати (2.6). Отриманий вираз буде залежати від вибору системи координат. Наприклад, в Декартовій системі координат:

В диференціальній формі теорема Гауса записується у вигляді:

(при V→ 0 в рівнянні (5) права частина прямує до ρ /ε ₀, ліва частина прямує до div ).

В диференціальній формі теорема Гауса є локальною формою, div залежить лише від ρ в тій самій точці і більше ні від чого.

В тих точках поля, де дивергенція вектора Е позитивна маємо справу з джерелами поля (там знаходяться позитивні заряди), а де вона негативна будуть стоки (негативні заряди). Таким чином, лінії напруженості починаються з джерел поля і закінчуються в місцях стоків.

Знаючи дивергенцію вектора напруженості в будь-якій точці простору можемо знайти потік вектора Е через будь-яку замкнену поверхню кінцевих розмірів.

Розглянемо потік вектора швидкості для ідеальної рідини.

Добуток divV на dV дає потужність джерел рідини, які охоплені об’ємом dV, сума таких добутків дає сумарну алгебраїчну потужність джерел в усьому об’ємі V, по якому здійснюється інтегрування:

Внаслідок того, що рідина не стискається, сумарна потужність джерел поверхні дорівнює потоку рідини, що витікає назовні через поверхню S, яка обмежує об’єм V.

Цей вираз є математичним записом теореми Остроградського-Гауса.

Дана теорема справедлива для векторного поля будь-якою природи. І тому можемо записати:

Уявимо замкнутий контур Г, через який рухається ідеальна рідина (рис.2.4). Заморозимо миттєво рідину у всьому об’ємі за виключенням тонкого замкненого каналу постійного перерізу, який включає контур Г. В залежності від характеру поля вектора швидкості, рідина в каналі буде або нерухомою, або буде циркулювати вздовж даного

В якості міри цього руху візьмемо величину

– добуток швидкості на довжину контуру – циркуляція вектора швидкості по контуру Г.

Оскільки канал має постійний переріз, то

, в той момент, коли відбулося затвердіння стінок, у кожної з частинок рідини в каналі буде погашена складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова швидкості, дотична до контуру – V_l (тангенціальна складова). З даною складовою пов’язаний елементарний імпульс dp_i, модуль якого для частинки рідини, яка знаходиться на відрізку каналу dl, має величину

, де ρ – густина рідини, σ – площа поперечного перерізу каналу.

Так як рідина ідеальна, дія стінок може змінюватись лише вздовж dp_i, але не впливає на його величину. При цьому алгебраїчна сума імпульсів не може змінитися, тобто імпульс, набутий однією з частинок чисельно дорівнює імпульсу, який втрачений іншою частинкою, тобто:

де V – швидкість циркуляції, V_i – дотична складова швидкості рідини в об’ємі

в момент часу перед затвердінням стінок каналу. Скоротивши на ρ і σ отримаємо:

Аналогічно визначається циркуляція будь-якого вектора по довільному замкненому контуру. Тоді:

Якщо розглядати ламінарний рух рідини в річці, то швидкість біля дна дорівнює нулю і поступово збільшується при наближенні до поверхні води і лінії вектора швидкості будуть прямолінійними. Разом з тим, в полі з вигнутими лініями циркуляція може дорівнювати нулю.

Циркуляція вектора характеризує властивості поля, які мають середні значення по поверхні. Щоб отримати середні значення в точці Р, потрібно зменшити розміри контуру Г, відповідно зменшиться циркуляція і площа контуру.

Відношення циркуляції вектора до площі S прямує до деякої границі, яка використовується для характеристики поля в точці Р.

Візьмемо контур Г, який лежить в площині, яка проходить через точку Р і розглянемо вираз:

де S – площа, охоплена контуром Г. Для довільної площини дана границя не дає можливості визначити характеристику поля в точці Р, тому що залежить не лише від точки Р, а й від орієнтації контуру в просторі. Ця орієнтація може бути задана напрямом позитивної нормалі n до площі контуру Г. Позитивною вважають нормаль, яка зв’язана з напрямом обходу по контуру при інтегруванні правилом правого гвинта.

Визначаючи (2.10) в одній точці Р для різних напрямів нормалі отримаємо різні значення, причому для протилежних напрямів n вони відрізняються лише знаком. Для якогось напряму n величина (2.10) в даній точці буде максимальною. Таким чином, відношення (2.10) веде себе як проекція вектора на напрям n. Максимальне значення (2.10) визначає модуль даного вектора, а напрям позитивної нормалі, при якій досягається максимум дає напрям вектора. Даний вектор називається ротором, або вихром вектора V і позначається:

Під

розуміється проекція вектора

на позитивну нормаль до площини S, охопленої контуром Г.

В тих місцях, де ротор відмінний від нуля, млинок рухається з тим більшою швидкістю, чим більша проекція ротора на вісь даного млинка.

Знаючи ротор вектора швидкості в кожній точці поверхні S, можна знайти циркуляцію цього вектора по контуру Г.

За рівнянням (2.11) циркуляція швидкості по контуру, що обмежена поверхнею dS може бут представлена у вигляді:

де n – позитивна нормаль до елементу поверхні dS.

Просумуємо вирази по всій поверхні S і здійснимо граничний перехід, при якому всі значення ∆ S → 0. Отримаємо:

Дійсно, просумувавши всі

, побачимо, що вони взаємознищуються.

Для ділянки ∆ S, яка лежить зліва MN, ділянка при визначенні циркуляції проходить в напрямі від N до M, а для ∆ S справа від NM та сама ділянка проходить в напрямі від M до N і таким чином

для суміжних площадок відрізняються лише знаком. Некомпенсованими будуть лише ті

, які лежать ззовні контуру Г.