Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Описание объекта управления. Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа:






     

    Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа:

    и имеет вид диф­ференциального уравнения

    , (1)

    где x(t)=i(t), u(t)=e(t), p, b – числа, равные p = – R/L, b = 1/L

     

    1.2. Конструирование функционала – критерия оптимальности.

    Критерий оптимальности – квадратичный функционал

    где - симметричная, неотрицательно-определенная матрица чисел, размерами ; - симметричная, положительно-определенная матрица чисел размерами .

    В данном случае вместо матриц используются числа, поэтому критерий оптимальности будет иметь другой вид:

    , (2)

    Это выражение представляет собой суммарную энергию активных потерь в схеме за время t1–t0.

    Запишем выражение для активной мощности по­терь на сопротивлениях r и R:

    или,

    Таким образом, q = R=55, m = 1/r =1/5 =0, 2, n = 0.

    1.3. Формулировка задачи как вариационной задачи на услов­ный экстремум.

     

    Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

    Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

    Определить функции x(t) и u(t) доставляющие экстремум функционалу

    ,

    при граничных условиях

    ,

    и при дополнительном условии (уравнении связи)

    накладываемом на функции x(t), u(t), в классе которых ищется экстремум.

    1.4. Синтез оптимального алгоритма управления.

     

    1.4.1. Получение уравнений вариационной задачи.

    Введем вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)

     

    ,

    где - пока неизвестная функция, называемая неопределенным множителем Лагранжа.

    Рассматриваемая задача называется задачей Лагранжа.

    l(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.

     

    Запишем уравнения Эйлера для функции (они называются уравнениями Эйлера – Лагранжа)

    Решим совместно уравнения Эйлера – Лагранжа и уравнение связи. Это система трех уравнений для определения трех неизвестных x (t), u(t), l(t).

     

    В итоге получаем систему уравнений

     

    (3)

    (4)

    (5)

     

    Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).

     

    1.4.2. Отыскание решения уравнений вариационной задачи.

    Уравнения (3) – (5) решаются в следующем порядке:

    1) Выразим u(t) из (4):

    Затем подставим его в (5).

    При этом получается система уравнений

    , (6)

    с коэффициентами

    a11 = p – nb/2m = - 3666.666,

    a12 = b2/2m = 11111.111,

    a21 = 2q – n2/2m =110,

    a22 = nb/2m – p = 3666.666.

    Получим систему уравнений:

     

     

    2) Запишем систему (6) в матричной форме

     

    , (7)

    где

    ,

    .

     

     

    3) Запишем решение уравнения (7) в соответствии с формулой Коши в виде:

     

    , (8)

    где

    – вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра

     

    ,

     

    где l1, l2 – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

    Найдем собственные числа матрицы А из условия . Получим:

    ,

    ,

    Из системы следует, что для нахождения и необходимо знать начальные значения и .

    (начальное положение объекта) задано, неизвестно.

    Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа l(t0), входящего в (8) необходимо:

    а) запишем (8) для момента времени t1

    или

    ,

    , (9)

    где e11, е12, е21, е22 – элементы матрицы (числа):

     

    б) определим l(t0) из первого уравнения системы (9)

     

    Получили, что

     

    Решаем уравнение (7):

     

    4) Решив уравнение (7), запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

     

    - оптимальная траектория

    - оптимальное управление

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.