Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры выполнения задач типового расчета




Задача 1. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания, но не более четырех раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна р = 0,6. Дискретная случайная величина Х – число затраченных патронов. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что стрелок израсходует не менее трех патронов. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение: Все расчеты приведены в таблице 1.3. Случайная величина Х принимает значения Х = n (n = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем их вероятности. Пусть вероятность промаха q = 1 – p = 0,4. Очевидно, Р(Х = 1) = р (стрелок попал с первого раза), Р(Х = 2) = qp (стрелок первый раз промахнулся, а во второй раз попал), Р(Х = 3) = q2p (стрелок два раза промахнулся, а в третий раз попал), Р(Х = 4) = q3p + q4 (стрелок три раза промахнулся, а в четвертый раз попал; или четыре раза промахнулся, но и в этом случае Х = 4, так как стрелок стреляет не более четырех раз).

Таблица 1.3
X P X·P X 2·P F(x)
0,6 0,6 0,6
0,4 · 0,6 = 0,24 0,48 0,96 0,6
0,42 · 0,6 = 0,096 0,288 0,864 0,84
0,43 · 0,6 + 0,44 = 0,064 0,256 1,024 0,936
1,000 1,624 3,448  

Расчет математического ожидания случайных величин X и X 2 также приведен в таблице 1.3 по формулам (1.18), (1.22):
M(X) = xi pi ; M(X 2 ) = xi2 pi ; D(X) = M(X 2 ) – (M(X))2.
В столбцах XP и X 2P записаны значения произведений xi pi и xi2pi. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M(X) = 1,624; M(X 2) = 3,448; D(X) = 3,448 – 1,624 2 ≈ 0,81; σ ≈ 0,9.
Вероятность того, что стрелок израсходует не менее трех патронов соответствует вероятности события X ≥ 3:
P(X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0,096 + 0,064 = 0,16.


Риснок 1.2


Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.3.
Искомая функция распределения имеет вид:
График функции распределения представлен на рис. 1.2.
Ответ: M(X) = 1,624; D(X) ≈ 0,81; σ ≈ 0,9; P(X) = 0,16.

Задача 2. Стрелок делает пять независимых выстрелов в мишень. вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение: Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р = 0,6, q = 0, 4, тогда вероятности P(X = m) можно вычислить по формуле (1.16):
P(X = 0) = P5(0) = C50p0q5 = (0,4)5 = 0,0102.
P(X = 1) = P5(1) = C51p1q4 = 5 · 0,6 · (0,4)4 = 0,0768.
P(X = 2) = P5(2) = C52p2q3 = 10 · 0,62 · (0,4)3 = 0,2304.
P(X = 3) = P5(3) = C53p3q2 = 10 · 0,63 · (0,4)2 = 0,3456.
P(X = 4) = P5(4) = C54p4q1 = 5 · 0,64 · (0,4) = 0,2592.
P(X = 5) = P5(5) = C55p5q0 = 0,65 = 0,0778.
Проверка: pi = 0,0102 + 0,0768 + 0,2304 + 0,3456 + 0,2592 + 0,0778 = 1.
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в табл. 1.4.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам (1.23):
M(X) = np = 5 · 0,6 = 3; D(X) =npq = (np)q = 3 · 0,4 = 1.2; σ (X) = ≈ 1,095.



Таблица 1.4
X P F(x)
(0,4)5 = 0,0102
5 · 0,6 · (0,4)4 = 0,0768 0,0102
10 · (0,6)2 · (0,4)3 = 0,2304 0,087
10 · (0,6)3 · (0,4)2 = 0,3456 0,3174
5 · (0,6)4 · 0,4 = 0,2592 0,663
(0,6)5 = 0,0778 0,9222
1,000  

Вероятность того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание соответствует вероятности события X ≥ 1.
P(X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,0102 = 0,9898.
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < X. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.4.
Искомая функция распределения имеет вид: .
График функции распределения представлен на рис. 1.3.




Рисунок 1.3


Ответ: M(X) = 3; D(X) = 1,2; σ ≈ 1,095; Р = 0,9898.

Задача 3. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, остальные стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, вычислить М(Х), D(X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение: P (X = 0) = Р(все 6 деталей нестандартные) =
=(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) ≈ 0,00005.
P (X = 1) = Р (одна деталь стандартная, остальные нестандартные) =
= 6 · (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) ≈ 0,00207.
Найдена вероятность события: первая вынутая деталь стандартная, остальные нестандартные. Но стандартная деталь может быть вынута первой, второй, третьей, … , шестой, т.е. возможно шесть несовместных событий (вариантов), а искомое событие X = 1 является их суммой. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому найденная вероятность умножена на 6.
P (X = 2) = Р(две детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C62 · (22/30) (21/29) (8/28) (7/27) (6/26) (5/25) ≈ 0,02723.
Найдена вероятность события: две первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть две детали из шести, т.е. на .
P (X = 3) = Р(три детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C63 · (22/30) (21/29) (20/28) (8/27) (7/26) (6/25) ≈ 0,1452.
Найдена вероятность события: три первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть три детали из шести, т.е. на .
P (X = 4) = Р(четыре детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C64 · (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (8/26) (7/25) ≈ 0,3449.
P (X = 5) = Р(пять деталей стандартные, остальные нестандартные) =
= C65 ·(22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (8/25) ≈ 0,3548.
P (X = 6) = Р(все шесть деталей стандартные) =
= (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (17/25) ≈ 0,1257.
Распределение вероятностей случайной величины X приведено табл. 1.5. Вероятность события X = 0 получилась равной нулю, так как расчет вероятностей проводился с точностью четыре знака после запятой. При более точном расчете P(X = 0) = 0,000047.

Таблица 1.5
X P XP X 2P F(x)
(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) ≈ 0,0000 0,0000 0,0000
6 · (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) ≈ 0,0021 0,0021 0,0021
15 · (22/30)(21/29)(8/28)(7/27)(6/26)(5/25) ≈ 0,0272 0,0544 0,1088 0,0021
20 · (22/30)(21/29)(20/28)(8/27)(7/26)(6/25) ≈ 0,1452 0,4356 1,3068 0,0293
15 · (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(8/26)(7/25) ≈ 0,3450 1,3800 5,5200 0,1745
6 · (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(8/25) ≈ 0,3548 1,7740 8,8700 0,5195
(22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(17/25) ≈ 0,1257 0,7542 4,5252 0,8743
1,000 4,4003 20,3329  

Расчет математического ожидания случайных величин X и X 2 также приведен в таблице 1.5 по формулам (1.18), (1.22). В столбцах XP и X 2P записаны значения произведений xi pi и xi2 pi. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M(X) ≈ 4,4; M(X 2 ) = 20,3329; D(X) = 20,3329 – 4,40032 ≈ 0,97; σ ≈ 0,985.
Вероятность того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных соответствует вероятности события X ≥ 4.
P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0,3450+0,3548+0,1257 = 0,8255.


Рисунок 1.4


Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.5.
Искомая функция распределения имеет вид: .
График функции распределения представлен на рис. 1.4.
Ответ: M(X) = 4.4; D(X) = 0,97; σ ≈ 0,985; Р = 0,8255.


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал