Йоганн Кеплер та Ісаак Ньютон

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Системи світу Птолемея і М. Коперника. Закони Кеплера та їх зв'язок із законами Ньютона. Видимий рух планет. Планетні конфігурації, синодичні та сидеричні періоди.

3. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння Ньютона

4.Визначення мас небесних тіл та відстаней до них

Перша наукова геоцентрична система світу почала формуватися в працях Арістотеля й інших учених Давньої Греції. Свого завершення вона здобула в роботах давньогрецького астронома Птолемея. Відповідно до цієї системи в центрі світу розташована Земля, звідки й пішла назва — геоцентрична. Всесвіт обмежений кришталевою сферою, на якій розташовані зорі. Між Землею і сферою рухаються планети, Сонце і Місяць. Древні вважали, що рівномірний коловий рух — це ідеальний рух і що небесні тіла саме так і рухаються. Але спостереження показували, що Сонце і Місяць рухаються нерівномірно, і для усунення цієї очевидної суперечності довелося припустити, що вони рухаються по колу, центри яких не збігаються ні з центром Землі, ні між собою. Ще більш складний петлеподібний рух планет довелося подати як суму двох колових рівномірних рухів. Така система дозволяла з достатньою для спостережень точністю обчислювати взаємне розташування планет на майбутнє. Петлеподібний рух планет ще тривалий час залишався загадкою і знайшов своє пояснення тільки в ученні великого польського астронома Миколи Коперника.

1543 року вийшла друком його книга «Про обертання небесних сфер». У ній була викладена нова геліоцентрична система світу. Відповідно до цієї системи в центрі світу знаходиться Сонце. Планети, у тому числі і Земля, обертаються навколо Сонця по колових орбітах, а Місяць — навколо Землі й одночасно із нею — навколо Сонця. Точність під час визначення положень планет збільшилася, правда, незначною мірою, але саме система Коперника дозволила просто пояснити петлеподібний рух планет. Учення Коперника завдало нищівного удару по геоцентричній системі світу. Воно далеко вийшло за рамки астрономії, давши потужний поштовх для розвитку всього природознавства.

Неозброєним оком ми можемо спостерігати п’ять планет — Меркурій, Венеру, Марс, Юпітер і Сатурн. Планети належать до тих світил, що не тільки беруть участь у добовому обертанні небесної сфери, але й зміщуються на тлі зодіакальних сузір’їв, тому що вони обертаються навколо Сонця. Саме це є причиною того, що планет, як і Сонця, немає на зоряних картах. Якщо простежити за щорічним переміщенням якоїсь планети, щотижня відзначаючи її положення на зоряній карті, то можна виявити головну особливість видимого руху планети: планета описує на тлі зоряного неба петлю. Це пояснюється тим, що ми спостерігаємо рух планет не з нерухомої Землі, а із Землі, що обертається навколо Сонця.

Планету за зовнішнім виглядом не легко відрізнити від зорі, тим більше, що вона не завжди буває значно яскравіше за неї. Планети належать до тих світил, які не тільки беруть участь у добовому обертанні небесної сфери, але ще й зміщуються на тлі зодіакальних сузір’їв. Із цією особливістю планет пов’язано саме слово «планета» — давні греки називали «блукаючі світила».

Ще давні люди помітили, що планети, рухаючись по небу, роблять дивні петлеподібні переміщення (рис. 1). Перші моделі Сонячної системи, які пояснюють такий рух, були побудовані ще в Стародавній Греції. Найвідомішою з них е система світу Птолемея.

Відповідно до розвитку ідей геліоцентризму петлеподібний рух планет почали пояснювати досить просто (рис. 2).

Рис. 2. Пояснення петлеподібного руху планет

Те, що планети під час їх спостереження із Землі рухаються по небу то зі сходу на захід, то із заходу на схід (зворотний рух), можна пояснити тим, що на рух планет навколо Сонця накладається ще й рух Землі по своїй орбіті. Моменти зміни напряму називаються стояннями. Якщо нанести цей шлях на карту, вийде петля.

Траєкторія руху небесного тіла називається його орбітою.

Швидкості руху планет по орбітах зменшуються відповідно до віддалення планет від Сонця.

По відношенню до орбіти і умов видимості із Землі планети поділяються на внутрішні (Меркурій, Венера) і зовнішні (Марс, Юпітер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон).

Зовнішні планети завжди повернені до планети й змінюють свої фази подібно до Місяця.

Площини орбіт всіх планет Сонячної системи (окрім Плутона) лежать поблизу площини екліптики, відхиляючись від неї: Меркурій — на 7°, Венера — на 3, 5°; в інших нахил ще менше.

Характерні взаємні положення Сонця, Землі і планет називаються конфігураціями. Однакові конфігурації планет відбуваються в різних точках їхніх орбіт, у різних сузір’ях і в різні пори року (рис. 3).

Для внутрішніх планет характерна конфігурація сполучення.

Сполученим називається таке положення планет, коли внутрішня планета перебуває або між Землею і Сонцем, або за Сонцем. У таких випадках вона невидима. Положення планети між Землею і Сонцем називається нижнім сполученням, у ньому планета знаходиться найближче до Землі. Розміщення планети за Сонцем називається верхнім сполученням, причому планета максимально віддалена від Землі.

Рис. 4. Деякі конфигурації планет: а) внутрішня планета — західна елонгація; зовнішня планета — протистояння; б) внутрішня планета — східна елонгація; зовнішня планета — сполучення; в) внутрішня планета — нижнє сполучення; зовнішня планета — західна квадратура; г) внутрішня планета — верхнє сполучення; зовнішня планета — східна квадратура. Позначення на рисунку: S — Сонце, Р₁ — внутрішня планета, Р₂ — зовнішня планета, Т — Земля.

Внутрішні планети не відходять від Сонця на великі кути (максимальний кут для Меркурія становить 28°, для Венери — 48°). Внутрішні планети спостерігають тільки поблизу Сонця перед його сходом та ввечері відразу після заходу Сонця. Видимість Меркурія не перевищує 1 години, видимість Венери — 4 години.

Найбільші відхилення планет від Сонця на захід називають найбільшою західною елонгацією, на схід — найбільшою східною елонгацією.

Для зовнішніх планет також можлива конфігурація сполучення (положення «за Сонцем»). При цьому вони невидимі для спостерігача із Землі, оскільки губляться в променях Сонця. Положення зовнішніх планет на прямій Земля—Сонце називається протистоянням. Це найбільш зручна конфігурація для спостережень планети.

Існує легенда, начебто Микола Коперник протягом життя жодного разу не бачив цю планету, яка постійно ховається в променях Сонця. Дійсно, у безсмертній праці Коперника «Про обертання небесних сфер» не згадано жодного спостереження Меркурія ним особисто. У своїх розрахунках руху Меркурія Коперник використовує спостереження Птолемея, його сучасника Теона, а також спостереження Б. Вольтера та І. Шонера, виконані в Нюрнберзі в 1491-1504 pp. Однак говорячи про труднощі вивчення Меркурія на широті Кракова, Коперник зауважує: «...усе-таки можна впіймати і його, якщо тільки взятися за це із дещо більшою хитрістю».

У південних широтах побачити цю планету легше, ніж у північних. Складність у тому, що Меркурій не віддаляється від денного світила більше, ніж на 28°. Його регулярно видно то як вечірню зорю, доступну спостереженням лише в перші дві години після заходу Сонця, то як ранкову — за дві години до світанку. А між появами планети на заході і на сході минає від 106 до 130 днів; помітну різницю пояснюють значною видовженістю орбіти Меркурія (е = 0, 21).

1761 року очікували рідкісне небесне явище: проходження Венери перед диском Сонця. Багато астрономів готувалися до цієї події і навіть споряджали експедиції в далекі краї для спостережень. Адже якщо спостерігати моменти заступання Венери на сонячний диск і сходження з його з різних, віддалених один від одного пунктів Землі, можна обчислити відстань від Землі до Сонця (а.о.), що входить у багато формул небесної механіки.

Готувалися до спостережень і російські астрономи. їхнім організатором був М. В. Ломоносов. Він направив 2 експедиції до Сибіру: в Іркутськ (під керівництвом Н. і. Попова) і в Селенгінськ (на чолі із С. Я. Румовським), організував спостереження в Петербурзі, на університетській обсерваторії, а сам вирішив спостерігати це явище вдома в невелику трубу. Коли чорний диск Венери сходив із сонячного диска, Ломоносов помітив, що тонка дуга на краю Сонця зігнулася, ніби піднята диском Венери, й утворився яскравий виступ — «пупир», який лопнув, після чого диск Венери злився з темним тлом неба. Це явище вже у XX ст. дістало назву «явище Ломоносова»: припустивши, з чого складається атмосфера Венери, Ломоносов, підсумував своє дослідження так:

«За цими примітками пан радник Ломоносов вважає, що планета Венера оточена знатною повітряною атмосферою, такою (аби не більшою), яку обливає біля нашої кулі земна».

Ломоносов опублікував свою працю російською і німецькою мовами, але вона залишилася непоміченою, і в 90-х роках XVII ст. Вільям Гершель і німецький астроном Йоганн Шретер удруге «відкрили» атмосферу Венери. Зусиллями радянських астрономів пріоритет Ломоносова було відновлено у 50-х роках XX ст..

• переміщення спостерігача по поверхні Землі;

Для точних розрахунків вчені враховують рух Сонячної системи відносно найближчих зір, обертання її навколо центра Галактики і рух власне Галактики.

Синодичним періодом планети S називається проміжок часу, що протікає між повтореннями її однакових конфігурацій.

Швидкість руху планет тим більше, чим вони ближче до Сонця. Тому після протистояння Земля починає обганяти ті планети, які розташовані далі від Сонця. З часом знову відбудеться протистояння, оскільки Земля обганяє планету на повний оберт.

Можна сказати, що синодичний період зовнішньої планети — це проміжок часу, після закінчення якого Земля обганяє планету на 360° у їхньому русі навколо Сонця.

Сидеричний період Т — це час, за який планета здійснює один оберт навколо Сонця по відношенню до зірок.

Між синодичним (S, в добах) і сидеричним (Т, в добах) місяцями існує співвідношення. Для планет, що знаходяться між Сонцем і Землею (нижніх), —

Тривалість середніх сонячних діб s для планет Сонячної системи залежить від сидеричного періоду їх обертання навколо своєї осі t, напрямку обертання і сидеричного періоду обертання навколо Сонця.

Для планет, які мають прямий напрямок обертання навколо своєї осі (той же, в якому вони рухаються навколо Сонця)-

, для тих, які мають зворотний напрямок обертання (Вене- ра, Уран), —

Формули зв’язку синодичного і сидеричного періодів виводять за аналогією з рухом годинникових стрілок. Аналогією синодичного періоду S буде проміжок часу між збігом годинної і хвилинної стрілок, аналогією сидеричних — періоди обертання годинної стрілки (Т_г = 12 год) і хвилинної стрілки (Т₂= 1 год). Стрілки зустрічаються знову в різних місцях циферблата. їх кутові швидкості дорівнюють:

Упродовж синодичного періоду часу годинна стрілка описує дугу

3. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння Ньютона

Два найвидатніших учені набагато випередили свій час. Вони створили науку, що називається небесною механікою, тобто відкрили закони руху небесних тіл під дією сил тяжіння, і навіть якби їхні досягнення обмежилися тільки цим, вони все одно б увійшли до пантеону великих світу цього. Так трапилося, що вони не перетнулися в часі. Тільки через тринадцять років після смерті Кеплера народився Ньютон. Обидва вони були прихильниками геліоцентричної системи Коперника. Багато років вивчаючи рух Марса, Кеплер експериментально відкрив три закони руху планет, ще не розуміючи, чому планети рухаються так, а не інакше. (Тихо Брате, наставник Кеплера, передав своєму учневі дані десятирічних спостережень за рухом Марса.) Це сталося за більш ніж п’ятдесят років до відкриття Ньютоном закону всесвітнього тяжіння. Усі три закони Кеплера є наслідками закону тяжіння, який відкрив Ньютон у 23 роки. У цей час у 1664-1667 pp. у Лондоні лютувала чума. Трініти-коледж, у якому викладав Ньютон, було розпущено на не- визначений термін, щоб не поширювати серед працівників та Студентив епідемію. Ньютон повернувся до себе на батьківщину і за два роки здійснив переворот у науці, зробивши три найважливіших відкриття: диференціальне й інтегральне числення, пояснення природи світла і закон всесвітнього тяжіння. Ісаака Ньютона було урочисто поховано у Вестмінстерському абатстві. Над його могилою височіє пам’ятник з погруддям та епітафією «Тут спочиває сер Ісаак Ньютон, дворянин, що майже божественним розумом перший довів зі смолоскипом математики рух планет, шляхи комет і припливи океанів... Нехай смертні радіють, що існувала така окраса роду людського».

Перший закон Кеплера. Усі планети Сонячної системи обертаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких перебуває Сонце.

(Під дією сили тяжіння одне небесне тіло рухається в полі тяжіння іншого небесного тіла по одному з конічних перерізів — колу, еліпсу, параболі або гіперболі.)

Еліпсом (рис. 5) називається плоска замкнута крива, для якої сума відстаней кожної її точки від двох точок, які називаються фокусами, залишається сталою. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі еліпса. Точка О — центр еліпса,

і F₂ — фокуси. Сонце знаходиться в цьому разі у фокусі F_l.

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, найвіддаленіша — афелієм. Лінія, що з’єднує будь-яку точку еліпса з фокусом, називається радіус-вектором. Відношення відстані між фокусами до великої осі (до найбільшого діаметра) називається ексцентриситетом е. Еліпс тим сильніше витягнутий, чим більший його ексцентриситет. Велика піввісь еліпса а — середня відстань планети до Сонця.

По еліптичних орбітах рухаються і комети й астероїди. Коло має е = 0, еліпса — 0 < е < 1, парабола — е = 1, у гіперболи е > 1.

Орбіти планет — еліпси — мало відрізняються від кіл; їх ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0, 017.

Орбіта небесного тіла також залежить від швидкості у певній точці простору:

Перша космічна швидкість для тіл, що рухаються по колу, для ШСЗ на низькій навколоземній орбіті — 7, 78 км/с:

Друга космічна швидкість для тіл, що рухаються по параболі, — 11, 02 км/с:

Третя космічна швидкість (тіло покине Сонячну систему) — 42 км/с.

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі: швидкість руху планет максимальна в перигелії й мінімальна в афелії.

Так, швидкість комети Галлея в перигелії дорівнює 55 км/с, а в афелії — 0, 9 км/с. Найближчий до Сонця Меркурій оббігає навколо світила за 88 днів. За ним рухається Венера, і рік на ній триває 225 земних діб. Земля обертається навколо Сонця за 365 діб, тобто рівно за один рік. Марсіанський рік майже вдвічі довший від земного. Юпітеріанській рік дорівнює майже 12 земним рокам, а далекий Сатурн обходить свою орбіту за 29, 5 року! Словом, чим далі планета від Сонця, тим триваліший на ній рік. Іоганн Кеплер намагався знайти залежність між розмірами орбіт різних планет і часом їх обертання навколо Сонця. 15 травня 1618 р. після безлічі невдалих спроб Кеплер встановив нарешті дуже важливе співвідношення.

Третій закон Кеплера. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби їхніх середніх відстаней від Сонця:

Основна задача небесної механіки — це дослідження руху небесних тіл під дією сил всесвітнього тяжіння, а саме: обчислення орбіт планет, комет, астероїдів, штучних супутників Землі, космічних апаратів, зір у подвійних і кратних системах. Усі задачі в математичному плані дуже складні і за рідкісним винятком обчислюються тільки числовими методами за допомогою найпотужніших ЕОМ. Однак модельні задачі, у яких тіла розглядають як матеріальні точки, нехтуючи впливом інших тіл, можна розв’язати в загальному вигляді, тобто одержати формули для орбіт планет і супутників. Найпростішою вважають задачу двох тіл, коли одне значно більше за інше і система відліку пов’язана з цим тілом.

Саме для цього випадку три закони руху планет відносно Сонця німецький астроном Йоганн Кеплер вивів емпірично на початку17 століття. Кеплеру були відомі: координати Марса на небесній сфері із точністю до 2" за даними спостережень Тихо Браге; відстані планет від Сонця; синодичні і сидеричні періоди обертання планет.