Регрессионный анализ. Цель регрессионного анализа – установление вида и параметров аналитической зависимости математического ожидания М(у) от уровней одного им нескольких факторов

Цель регрессионного анализа – установление вида и параметров аналитической зависимости математического ожидания М(у) от уровней одного им нескольких факторов Х, когда результаты эксперимента представлены в виде независимой выборки пар .

Искомая функция называется моделью регрессионного анализа или регрессионной моделью Y на Х.

Коэффициенты регрессии – параметры установленной регрессионной модели.

Особенность построения регрессионной модели состоит в том, что наличие случайных ошибок измерения (т.е. наличие «шума» в эксперименте) делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные данные. Другими словами, график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки (Рис. 1), а должен сглаживать «шум».

Основные допущения регрессионного анализа:

1. Отклик Y – случайная величина с нормальным законом распределения. При большом объеме экспериментальных исследований гипотеза о нормальности распределения можно проверить используя критерий х². Нарушение нормальности распределения величины Y может привести к получению численных оценок, за которыми ничего не стоит.

Рисунок 1 - Пример «сглаживания» экспериментальных данных.

2. Дисперсия Y не зависит от ее абсолютной величины. Т.е. погрешность измерения величины отклика подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным нулю. Верны гипотеза однородности дисперсии в разных точках факторного пространства.

3. Значения факторов неслучайные величины, некоррелированны между собой.

Обозначим выбранную функциональную зависимость в виде:

, где – параметры регрессионной модели, подлежащие определению.

Если нет теоретических соображений о виде регрессионной модели, то ее представляют в виде полинома: , в случае линейной модели: э

В виде степенного ряда:

В виде тригонометрического ряда:

В виде суммы ортогональных многочленов Чебышева:

Для нахождения параметров регрессионной модели используют метод наименьших квадратов.

Содержание метода наименьших квадратов.

Поиск параметров регрессионной модели состоит в нахождении минимума следующей функции: – для случая если все измерены с одинаковой точностью, или: - для случая неравноточных измерений, где – веса измерений.

Если все измерения отклика проведены с одинаковой точностью, но при различном числе измерений при каждом значении , то весами измерений могут служить количества измерений в сериях (к=1, 2, …, N) /

Минимум функции S означает равенство нулю всех частных первых производных данной функции:

Таким образом, для (n +1) неизвестного имеем систему (n +1) уравнений. Если в регрессионную модель параметры входят линейно, то последняя система уравнений будет также линейна относительно этих параметров.

Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент