Построение регрессионной модели при ПФЭ.

Планирование эксперимента, как научный метод исследования, появился в 40-х годах прошлого столетия. Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Основные задачи, решаемые при планировании экспериментальных исследований состоят в: минимизация общего числа опытов; одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам, называемым алгоритмами; использование математического аппарата, формализующего действия экспериментатора; разработка или выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.

Для успешной реализации стратегии планирования эксперимента необходимо правильно выбрать факторы и уровни их варьирования, а также выбрать отклик, наиболее полно характеризующий измеряемые свойства системы. Здесь мы приведем наиболее общие требования, предъявляемые к факторам и отклику.

При проведении многофакторного эксперимента, все множество уровней факторов, при которых проводится измерение отклика, задается матрицей условий эксперимента:

, где К – число контролируемых факторов, N – число опытов (измерений). Значения отклика, полученные для каждого из 1…N измерений, представляют в виде матрицы наблюдений.

.

Для К факторов, которые изменяются на Р уровнях число возможных опытов равно Р^к. Например, для К =5 при числе уровней Р =5 количество возможных опытов Р^к =3125. При таком большом числе возможных опытов ясно, что провести их все становится нереальным. Возникает задача минимизации числа опытов при сохранении требования к точности полученных выводов. Рассмотрим как данная задача решается применением математических методов планирования эксперимента.

При экспериментальном исследовании технологических процессов или зависимости свойств материалов от их состава или метода получения могут решаться две задачи. Первую задачу называют интерполяционной. Эта задача состоит в построении регрессионной модели для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов. Модель объекта исследования получают используя результаты опытов.

Вторую задачу называют экстремальной. Экстремальная задача заключается в отыскании условий некоторого процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра.

При исследовании многофакторного процесса реализации всех возможных опытов требует большой трудоемкости. Это делает и интерполяционную и экстремальную задачи нерешаемыми проблемами. Решению таких задач при названных условиях способствует планирование эксперимента.

При построении плана эксперимента предполагается, что в общем случае, математическая модель процесса имеет вид:

, где первая сумма учитывает влияние факторов на величину изучаемого отклика ; вторая сумма учитывает парные взаимодействия факторов; многоточия указывают на то, что модель может включать тройные взаимодействия; последнее слагаемое указывает на то, что модель может быть второго порядка; – число контролируемых факторов.

Порядок модели до опыта неизвестен. В этом случае применяют последовательное планирование эксперимента.

На первом этапе выдвигают гипотезу о линейности модели:

Затем реализуют эксперимент, необходимый для определения параметров линейной модели. Проверяется адекватность модели. Если модель неадекватна, то выдвигают гипотезу о значимом влиянии взаимодействия факторов, сначала парных, затем тройных. Например, линейная модель, учитывающая парные взаимодействия:

Если данная модель также является неадекватной, то выдвигается гипотеза о квадратичности модели и т.д.