Вопрос 14 Параметры случайных сигналов

Наибольшее значение имеют следующие характеристики случайного

процесса:

· математическое ожидание или первый начальный момент, равный

µ

M_x(t)=M[x(t)]= ò xp(x; t)dx

-µ

Математическое ожидание – это средняя функция, вокруг которой группируются реализации (см.рис. 1).

Рис. 1

Многие параметры случайного процесса получают путем вычисления простейших функций от математического ожидания.

· дисперсия (разброс реализаций случайной величины относительно математического ожидания)

D_x(t)= M{[x(t) -m_x(t)]²}

Корень квадратный от дисперсии называют среднеквадратическим отклонением (СКО):

sÖ M{[x(t)- m_x(t)]²}=Ö D_x(t)

Если сечения случайного процесса описываются одним и тем же законом распределения, то математическое ожидание и дисперсия являются числами (параметрами). Если m_x=0, то говорят, что такой процесс имеет нулевое среднее; процесс x(t)- m_x (t) называется центрированным. Математическое ожидание называют первым моментом случайной величины, дисперсию – вторым центральным моментом.

Если для случайного процесса заданы двумерные плотности вероятно-

сти, что бывает необходимо при анализе быстроменяющихся процессов, то

определяют так называемую ковариационную функцию

которая определяет математическое ожидание произведений случайных функций в моменты t₁ и t₂. При t₁= t₂ имеем

µ

K_x(t₁, t₂)= ò X₁² p(x₁; t₁)dx₁=M[x²(t)]

-µ

т. е. при нулевом интервале между t₁, t₂ ковариационная функция определяет математическое ожидание от квадрата случайной величины. Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием определяет флуктуации (изменения) сигнала. Для описания флуктуаций определяется автокорреляционная функция процесса

R_x (t₁, t₂)=M{[x(t₁)-m_x(t₁) ][ x(t₂)-m_x(t₂) ]} =K_x(t₁, t₂) - m_x(t₁) m_x(t₂)

При t₁= t₂ получаем

K_x(t₁, t₂)-m_x²(t)=R_x(t₁, t₂)=D_x(t)

т.е. автокорреляционная функция в этом случае равна дисперсии. Часто при-

меняют нормированную корреляционную функцию

r_x(t)= R_x(t)/D_x=[K_x(t)-(x)²]/D_x

Все эти функции: K_x(t), r_x(t), R_x(t) – характеризуют связь между значениями случайного процесса, разделенными промежутком времени t. Чем медленнее меняется случайная функция, тем больше t, в пределах которого эти функции не равны нулю, т. е. наблюдается статистическая связь между ними.