Вопрос 4 Свойства преобразования Фурье

Между сигналом и его спектральной плотностью существует однозначное соответствие s(t)«S(jw), установленное полученными выше соотношениями. Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сигнала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спектральной плотности. Рассмотрим несколько основных таких радиотехнических преобразований.

Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). Сложение, усиление и ослабление сигналов относятся к линейным операциям, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детерминированных сигналов s1(t), s2(t), …, sN(t ) обладающих спектральными плотностями S1(jω), S2(jω), …, SN(jω), то суммарному (разностному) значению сигналов sS(t) = s1(t) + s2(t)+ …+ sN(t ) соответствует сумма (или разность) их спектральных плотностей SS(jω) = S1(jω) + S2(jω) + … + SN(jω).

Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (1.10) подставить сумму исходных сигналов и выполнить преобразования.

· Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал s1(t ) со спектральной плотностью S1(jw), задержан на некоторое время tз. В этом случае s2(t)=s1(t-tз), и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (1.10), будет иметь вид: S1(jw)=S1(jω)e -jwtз. Таким образом, сдвиг сигнала во времени на некоторый интервал tз приводит лишь к изменению аргумента спектральной плотности на величину ω c а её модуль остается неизменным. На практике сдвиг сигнала во времени осуществляется при аудио и видеозаписи на различные носители.

Сколь долго (теоретически) не хранилась бы такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений.

· Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Смысл данной теоремы заключается в следующем: если S1(jw) – спектральная плотность сигнала s1(t), то спектральная плотность S2(j(ω + Ω)), полученная путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину Ω соответствует сигналу s2(t) = s1(t) e-jΩ t. Это соотношение получают при использовании преобразований Фурье и оно показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину Ω равную частоте сдвига. В итоге s2(t)«S2(jw), и подобное преобразование сигнала применяют в различных радиосистемах

при необходимости переноса спектра сигнала из одной области частот в другую, например, при модуляции.

· Изменение масштаба времени. Предположим, что в исходном сигнале s1(t) изменен масштаб времени таким образом, что аргумент t умножен на некоторый постоянный коэффициент b и s2(t)= s1 (bt) Если b > 1, то происходит " сжатие" исходного сигнала; если же 0 < b < 1 – исходный сигнал " растягивается" во времени. Спектральная плотность преобразованного сигнала после вычислений преобразований Фурье будет равна

S2(jω)=(1/ b)S1(jω / b). Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b раз сопровождается сжатием его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьшение длительности приводит к расширению спектра при одновременной уменьшении его интенсивности в 1/ b раз.