Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основні формули






1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонійних коливаннях визначаються рівняннями:

 

х = А cos (w t + j0),

υ = A w sin (wt + j0),

a = A w2cos (wt + j0) = - w2 x,

 

де А – амплітуда коливань;

w – циклічна частота;

j0 – початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

 

w = = 2 p n.

 

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

 

F = ma = - m w2 x = - k x,

 

де k = mw2 – коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

 

,

 

.

 

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник:

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

 

б) пружинний маятник:

 

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

 

в) фізичний маятник:

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

 

де І – момент інерції маятника відносно осі коливань;

l – відстань від осі коливань до центра мас маятника;

зведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w0.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j0 визначаються рівняннями:

 

,

 

tq j0 = ,

 

де А1 і А2 – амплітуди коливань, що складаються;

j1 і j2 – початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w1 » w2) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

 

x = cos ,

 

 

де – амплітуда биття.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

 

Tб = , звідки Tб = .

 

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

 

cos(j2 - j1) = sin2 (j2 - j1),

 

де А1 і А2 – амплітуди коливань, що додаються;

j2 - j1 – різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань:

 

0

або

де b = – коефіцієнт згасання;

r – коефіцієнт опору середовища;

– квадрат власної циклічної частоти коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A0e-bt cos (wt + a),

 

де А0е-bt – амплітуда згасаючих коливань;

w – циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання:

 

δ = ln ,

 

де δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

Т – період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань:

 

w = або w = .

13. Період згасаючих коливань:

 

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем:

 

q = 2p або q = ,

 

де Wt – повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW(t=T ) – втрати енергії коливальної системи за один період;

δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

w0 – власна циклічна частота коливань;

Т – період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т» Т0).

 

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань:

 

 

або

,

 

де F0 – вимушувальна сила;

w – циклічна частота вимушених коливань.

 

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

 

x = A cos (wt + a),

 

де А – амплітуда вимушених коливань;

a – зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань:

 

A = ,

де f0 = ;

w0 – власна частота коливань системи;

w – циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

 

tga = - .

 

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

 

wрез = ;

Арез = .

 

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.