Энергетический метод определения критических нагрузок

Энергетический метод представляет собой один из способов определения критических нагрузок. Пусть согласно методу проб Эйлера сжатый силами стержень не вернулся в исходное состояние равновесия (рис. 9.51).

а) б)

Рис. 9.51

При этом подвижная шарнирная опора переместится на величину так, что сила совершит работу а стержень выпучится (изогнётся). Энергия изгиба:

Учитывая, что получим:

(9.167)

Рассмотрим элемент стержня . Этот элемент к моменту потери устойчивости уже сжат, и при упругом изгибе его длина не меняется. После изгиба элемент займёт положение . Поэтому укорочение стержня по направлению z будет:

Сближение концов стержня при потере устойчивости:

(9.168)

Работа, совершаемая силой , определится соотношением:

Приравнивая выражение (9.167), (9.168), получим:

(9.169)

Если точная функция прогибов стержня известна, то значение критической силы находится просто. Для шарнирно опёртого стержня что даёт известную формулу:

В общем случае функция прогибов неизвестна, и её задают приближённо. Пусть, например, в той же задаче

Тогда

Как видно, при приближённом задании прогиба, удовлетворяющем граничным условиям, критическое значение силы больше, чем при точном задании прогиба.

Можно показать в общем случае, что по сравнению со всеми функциями прогиба , удовлетворяющим граничным условиям, истинная функция прогиба даёт минимальное значение .