Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задача А.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести
Все материалы обладают тремя основными свойствами – упругости, пластичности и вязкости. При длительной эксплуатации конструкции, которая содержит сжатый силами Р стержень, может проявиться свойство вязкости материала в виде его ползучести либо релаксации напряжений.. Эти явления при ограниченной ползучести (для таких материалов, как бетон, полимеры, композиты) описываются законом Кельвина: , (9.135) где время релаксации, – модуль продольной упругости, – длительный модуль упругости, и - скорости напряжений и деформаций. Рассмотрим шарнирно опёртый стержень, сжатый силами (рис. 9.45). Рис. 9.45
Из условий равновесия отсечённой части стержня имеем , , . Деформация и её скорость при изгибе стержня: (9.136) Умножая (9.135) на , интегрируя по площади стержня и используя (9.136), получаем: (9.137) где Подставляя в (9.132) выражения находим: (9.138) Примем для прогиба и его скорости выражения . Тогда из (9.138) получаем: (9.139) где - (9.140) бифуркационнные нагрузки Л. Эйлера и А.Р. Ржаницына. Обозначим: . (9.141) Тогда уравнение (9.139) преобразуется к виду (9.142) Разделяя переменные и интегрируя, получаем: или, после потенцирования, . Постоянную находим из начального условия при В результате получаем: (9.143) Если прогиб по методу проб Эйлера на устойчивость, то выражение (9.142) даёт закон поведения прогиба после снятия возмущающей поперечной силы. Возможны три состояния процесса изгиба стержня во времени . При коэффициент , и из (9.143) следует, что при прогиб , т.е. стержень устойчив, т.к. возвращается со временем к своей начальной прямолинейной форме (рис. 9.45). Рис. 9.46 При имеем , и при прогиб , т.е. стержень неустойчив. При имеем и решение уравнения (9.137) Стержень остаётся в безразличном состоянии на границе между устойчивым и неустойчивым состояниями процесса выпучивания. Таким образом, мы обнаруживаем что при сжатый стержень обладает свойством длительной устойчивости, т.к. после снятия возмущения остаётся пребывать в малой окрестности исходного невозмущенного состояния при Реальные стержни обладают начальными несовершенствами своей прямолинейной геометрической формы. Пусть – начальный технологический прогиб оси стержня. Будем смотреть на него как на малый возмущающий фактор. Тогда кривизна изогнутой оси стержня в процессе его деформирования: а относительные деформации и напряжения: Умножим вновь (9.122) на и, интегрируя, получим уравнение (9.144) Полагая в (9.144): и учитывая обозначение (9.141), приходим к уравнению (9.145) Решение уравнения (9.140) имеет вид (9.146) Начальным условием при для решения (9.146) является статическое решение (9.106) задачи о выпучивании упругого стержня с начальным прогибом: . Удовлетворяя решение (9.141) этому условию, получим: и общее решение: (9.147) При имеем и поэтому из (9.147) при получаем, что прогиб ограничен и стремится к значению (рис. 9.46): . При имеем и поэтому из (9.141) при получаем . Рис. 9.46
Процесс выпучивания во времени неограничен и, следовательно, неустойчив (рис. 9.47). При коэффициент , и из уравнения (9.140) получаем: При нагрузке впервые процесс выпучивания стержня из материала с ограниченной ползучестью становится неустойчивым. Поэтому названа длительной критической нагрузкой А.Р. Ржаницына.
|