Устойчивость стержня, сжатого следящей силой

Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки (рис. 9.43). Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.

а) б)

Рис. 9.43

Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

Общее решение задачи представлено выражением (9.29). Граничные условия задачи имеют вид

при ;

при , (9.120)

где

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.120), получим:

Исключая постоянные , находим:

(9.121)

Определитель этой системы:

Следовательно, система уравнений (9.116) не имеет отличных от нуля решений и потому

Таким образом, по методу Эйлера сжатый следящей силой стержень не имеет искривлённых форм равновесия. Эту задачу впервые рассмотрел А.Пфлюгер (Германия) в 1950 г. и пришёл к выводу, что сжатый следящей силой стержень всегда устойчив.

Такой вывод оказался неверным, т.к. метод Эйлера и его понятие устойчивости не являются общими и относятся только к задачам с консервативными внешними силами.

В данной задаче потеря устойчивости проявляется не в переходе системы в смежное равновесное состояние в смысле Эйлера, а в переходе её в режим движения. Поэтому для исследования устойчивости со следящей неконсервативной силой следует применить динамический метод Лагранжа. Предположим, что на конце стержня сосредоточена масса (рис. 9.43, б). Тогда при её движении вместе со стержнем возникает сила инерции , где точки над означают дифференцирование по времени. Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера и уравнением (9.105), которое в силу принимает вид:

(9.122)

где прогиб есть функция и времени , т.е. Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных Фурье, полагая:

(9.123)

Подставляя (9.123) в (9.122), получим:

(9.124)

Общее решение (9.124) имеет вид:

(9.125)

Граничные условия задачи:

при ,

при (9.126)

Удовлетворяя решение (9.120) граничным условиям (9.121), получим граничные условия для:

при

при (9.127)

Первые три условия очевидны. Последнее поясним подробнее. После подстановки (9.123) в четвёртое условие (9.126) имеем:

откуда, разделяя переменные, получим:

где - постоянная величина.

Следовательно,

(9.128)

Полагая в (9.128) , находим

(9.129)

для действительных значений и

(9.130)

для мнимых ( - действительных) значений .

Подставляя (9.125) в граничные условия (9.127), находим:

(9.131)

Исключая из (9.131) найдём

(9.132)

Приравнивая определитель системы (9.132) к нулю, получим:

(9.133)

Пока выражение под радикалом в (9.128) положительно , оба значения действительны и имеет место устойчивый периодический процесс движения (9.130).

Случай

(9.134)

отвечает и переходу от устойчивого движения к неустойчивому. Корень уравнения (9.133) нами уже вычислялся: он равен , откуда получаем критическое значение следящей силы:

при которой сжатый стержень получит динамическую бифуркацию. При этой силе колебательный процесс становится неустойчивым. Примером такого беспорядочного процесса могут служить катастрофы при запуске баллистических ракет.