Решение. Построим эпюру изгибающих моментов от поперечной нагрузки (рис

Построим эпюру изгибающих моментов от поперечной нагрузки (рис. 9.54, а) и подберем сечение расчетом по недеформированному состоянию без учета продольной силы.

. Откуда .

Выберем из сортамента прокатной стали швеллер № 27, у которого , , и проверим прочность с учетом продольной силы:

.

Увеличим размер швеллера. Для швеллера № 30 с такими характеристиками: , , , условие прочности по недеформированному состоянию выполняется:

.

Рис.9.54

Проверим прочность по деформированному состоянию. Найдем максимальный прогиб в середине пролета, перемножая эпюры М от поперечной нагрузки и М ₁ от единичной силы (рис. 9.54, б).

.

Чтобы найти критическую силу, найдем гибкость стержня в плоскости изгиба, где жесткость максимальна.

.

Гибкость стержня для стали С235, поэтому определяем критическую силу по формуле Эйлера.

.

Принимая коэффициент запаса прочности n = 1, 5, проверим прочность по условию прочности по деформированному состоянию (9.174).

.

Поскольку условие прочности по деформированному состоянию для швеллера № 30 не выполняется, проверим прочность по условию (9.174) для швеллера № 33, у которого , , , , .

;

Поскольку , определяем критическую силу по формуле Ясинского.

.

Тогда условие прочности (9.174)

выполняется.

Проверим жесткость стержня расчетом по деформированному состоянию по формуле (9.175). Примем и допускаемый прогиб . Тогда условие жесткости

выполняется.

Осталось удовлетворить третьему условию – условию устойчивости в плоскости наименьшей жесткости. Найдем минимальный радиус инерции сечения из двух швеллеров:

.

Если швеллеры расположены вплотную друг к другу, то . Тогда

и . Гибкость стержней больше, чем 200, не допускается. Для сечения из двух швеллеров можно уменьшить гибкость, не увеличивая размер швеллера. Для этого следует раздвинуть швеллеры. Величину а нужно подобрать так, чтобы гибкость стержня была меньше 200 и условие устойчивости выполнялось. В рассматриваемом примере такой величиной будет , которой соответствует расстояние между стенками швеллеров . Для стержня с таким сечением

;

.

Этой гибкости соответствует , и условие устойчивости

выполняется. Таким образом, всем условиям (прочности, жесткости и устойчивости) удовлетворяет сечение из двух швеллеров № 33, расстояние между стенками которых равно 5, 60 см.

Вопросы для самопроверки

- Опишите явление потери устойчивости.

- Чем опасна потеря устойчивости?

- Причины потери устойчивости.

- Объясните формулу Эйлера и предел ее применимости.

- Критические напряжения.

- Порядок расчёта сжатых стержней на устойчивость.

- Рациональное расположение сечений для предотвращения потери устойчивости.

- Какая механическая система называется устойчивой и неустойчивой?

- Приведите примеры устойчивых и неустойчивых объектов.

- Что означает выражение «сжатый стержень потерял устойчивость»?

- Какая сила называется критической?

- Почему в реальных конструкциях сжимающие стержень силы должны быть меньше критических?

- Почему нельзя допускать потерю устойчивости элементов конструкций?

- Запишите формулу Эйлера.

- Как влияют условия закрепления стержня на величину критической силы?

- Запишите формулу Эйлера с учетом условий закрепления стержня.

- Сформулируйте условие применимости формулы Эйлера.

- Запишите формулу Ясинского.

- Когда применяется зависимость Ясинского?

- Какие стержни называются стержнями большой, средней и малой гибкости?

- Могут ли быть такие случаи, когда сжатый стержень не будет терять устойчивость?

- Нарисуйте график зависимости .

- Опишите в общем виде схему расчета сжатых стержней с помощью коэффициента уменьшения допускаемого напряжения.

- Какой коэффициент приведения длины соответствует приведённой схеме?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- Если стержень теряет устойчивость, то это происходит

1) в плоскости наибольшей жёсткости;

2) в плоскости действия сил;

3) в плоскости наименьшей жёсткости.

- Как записывается формула для определения критической силы данного стержня?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- Формула Эйлера для определения критической силы применяется для стержней

1) малой гибкости;

2) большой гибкости;

3) средней гибкости.

- Кто впервые получил формулу для определения критической силы для сжатой стойки:

1) Мор,

2) Гук,

3) Лаплас,

4) Эйлер.

- Стержень теряет устойчивость:

1) в плоскости сечения;

2) в плоскости действия силы;

3) в плоскости наибольшей жесткости;

4) в плоскости наименьшей жесткости.

- Формула Эйлера для устойчивости сжатого стержня.

1. .

2. .

3. .

4. .

- Понятие устойчивого состояния системы.

1. Малейшие отклонения системы от положения равновесия приводят к непропорционально большим перемещениям и усилиям.

2. Это свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях.

3. Малые нарушения равновесия (отклонения от первоначального положения) вызывают малые изменения в напряженно-деформированном состоянии системы.

4. Это состояние, при котором система может сохранять заданную форму или потерять ее при любом малом внешнем воздействии.

- Понятие критической силы.

1. Значение силы, при которой система может переходить из первоначального положения в новое деформированное, называется критическим.

2. Наибольшее значение силы, при котором происходит разрушение системы, называется критическим.

3. Минимальное значение силы, при котором система может переходить из первоначального положения в новое деформированное, называется критическим.

4. Это сила, при которой система теряет устойчивость.

- Пределы применимости формулы Эйлера для материала типа стали.

1. .

2. .

3. .

4. .

- Формула Ясинского.

1. ,

2. ,

3.

4.

- Критические силы это

1) силы сжатия, при которых наступает предел текучести;

2) силы, при которых сжатый стержень теряет устойчивость, упругое равновесие;

3) силы, при которых стержень разрушается.

- Потеря устойчивости происходит в результате продольного изгиба относительно главной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции.

1. ;

2. ;

3. момент сопротивления максимальный.

- Критические напряжения Эйлера должны быть:

1. меньше ;

2. меньше ;

3. при значениях .

- Зависимость Ясинского применяется, если:

1. ;

2. ;

3. при .

- Условие устойчивости сжатого стержня:

1.

2. ;

3.

- Формула Эйлера при расчете устойчивости сжатого стержня:

1. ;

2. ;

3. .

- Пределы применимости формулы Эйлера

1. ;

2. ;

3. .

- Критические напряжения при потере устойчивости больше предела текучести.

1. нет;

2. да;

3. зависят от скорости приложения осевой нагрузки.