Топология многообразий

Хаусдорфово паракомпактное топологич. пространство наз. n -мерным топологич. многообразием, если оно " локально евклидово", т. е. если каждая его точка обладает окрестностью (наз. координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологич. пространству [ris]. В этой окрестности точки задаются n числами x₁,..., х_п, наз. локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством нек-рых функций, наз. функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в [ris], наз. гомеоморфизмом перехода.

Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из [ris] называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть р -гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, - s-гомеоморфизмом.

Пусть [ris] или s. Топологич. многообразие наз. [ris] -многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются [ris] -гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт [ris] -структуру на топологич. многообразии X. Т. о., t-многообразие - это просто любое топологич. многообразие, р -многообра-зия наз. кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. Вклассе всех полиэдров n -мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n -мерному кубу, s-многообразия наз. гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями, [ris] -отображением а-многообразия наз. при [ris] произвольное непрерывное отображение, при [ris] = = р - произвольное кусочно-линейное отображение, при [ris] - произвольное гладкое отображение, т. е. непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное а-отображение, обратное к к-рому также является а-отображением, наз. [ris] -гомеоморфизмом (при [ris] также диффеоморфизмом). [ris] -многообразия X и У наз. [ris] -гомеоморфными (при [ris] - диффеоморфными), если существует хотя бы один а-гомеоморфизм [ris]. Предметом теории а-многообразий является изучение а-многообразий и их [ris] -отображений; при этом а-гомеоморфные [ris] -многообразия считаются одинаковыми. Теория р -многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многооб-разий наз. также гладкой Т.

Осн. метод совр. теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраич. Т. для нек-рых нужным образом сконструированных топологич. пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраич. Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрич. проблем, а с другой - резко стимулировала развитие самой алгебраич. Т.

Примерами гладких многообразий являются n -мерные поверхности в [ris], не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности [ris] Аналогичный результат верен и при а

[ris]

Каждое р -многообраэие является t- многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно нек-рым естественным образом ввести р -структу-ру (к-рая наз. обычно уайтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое [ris] -многообразие, где [ris] является [ris] -многообразием, где [ris] или [ris]. Ответ на обратный вопрос: на каких а-многообразиях можно ввести [ris] -структуру (такое а'-многообразие при [ris] наз. сглаживаемым, а при [ris] - триангулируемым), а если можно, то сколько? - зависит от размерности n.

Существует только два одномерных топологич. многообразия: окружность S¹ (компактное многообразие) и прямая линия [ris] (некомпактное многообразие). Для любого [ris] на t-многообразиях [ris] существует единственная [ris] структура.

Аналогично, на любом двумерном топологич. многообразии (поверхности) существует единственная а-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопич. тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологии. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера [ris]. Пусть X и У - два связных я-мерных а-многообразия. Вырежем в X и У по шару (при п = 2 - диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при п = 2 - окружности). При соблюдении нек-рых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим а-многообразие. Оно наз. связной суммой [ris] -многообразий X и У и обозначается [ris] Напр., [ris] имеет вид кренделя. Сфера [ris] является нулём этого сложения, т. е. [ris] для любого X. В частности, [ris] Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморф-на связной сумме вида [ris] число [ris] слагаемых [ris] наз. родом поверхности. Для сферы [ris], для тора р = 1 и т. д. Поверхность рода р можно наглядно представлять себе как сферу, к к-рой приклеено р " ручек". Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме [ris] нек-рого числа проективных плоскостей [ris]. Её можно представлять себе как сферу, к к-рой приклеено несколько Мёбиуса листов.

На каждом трёхмерном топологич. многообразии при любом [ris], s также существует единственная [ris] -структура и можно описать все гомотопич. типы трёхмерных топологич. многообразий (однако групп гомологии для этого уже недостаточно ). В то же время до сих пор (1976 ) не описаны все (хотя бы компактные связные ) трёхмерные топологич. многообразия данного гомотопич. типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S³ ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомео-морфно S³.

Для четырёхмерных (компактных и связных) топологич. многообразий вопрос о существовании и единственности а-структур (а = р, s) ещё не решён, a их гомотопич. тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

Замечательно, что для компактных и связных топологич. многообразий размерности [ris] ситуация оказывается совсем иной: все осн. задачи для них можно считать в принципе решёнными (точнее, сведёнными к проблемам ал-гебраич. Т.). Любое гладкое многообразие X вкладывается как гладкая (n -мерная) поверхность в [ris]; и касательные векторы к X составляют нек-рое новое гладкое многообразие ТХ, к-рое наз. касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологич. пространством X наз. топологич. пространство Е, для к-рого задано такое непрерывное отображение [ris], что для каждой точки [ris] прообраз [ris] (слой ) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие [ris] пространства X, что для любого а прообраз [ris] гомеоморфен произведению [ris], причём существует гомеоморфизм [ris], линейно отображающий каждый слой [ris] на векторное пространство [ris] При Е = ТХ непрерывное отображение [ris] сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем [ris] будет пространство, касательное к X в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством X определяет нек-рый элемент группы КО(X ). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия X в группе КО(Х) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он наз. тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого а.

При а = р роль группы КО(Х) играет нек-рая другая группа, к-рая обозначается KPL(X), а при [ris] роль этой группы играет группа, обозначаемая КТор(Х). Каждое а-многообразие X определяет в соответствующей группе [КO(X ), KPL(X) или КТор(Х)] нек-рый элемент, называемый его [ris] -тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы КО(Х) > KPL(X) > KTop(X), и оказывается, что на n -мерном [ris] компактном и связном [ris] -многообразии X, где [ris] = = t, р, тогда и только тогда можно ввести [ris] -структуру ([ris], если [ris] и [ris], если [ris]), когда его а'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [ КРL(Х) при [ris] и КО(Х) при [ris] ]. Число таких структур конечно и равно числу элементов нек-рого фактормножества множества [ris] где [ris] - нек-рое специальным образом сконструированное топологич. пространство (при [ris] топологич. пространство [ris] обозначается обычно символом PL/O, а при а = = р - символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности а-структуры сводится к нек-рой задаче теории гомотопий. Гомотопич. тип топологич. пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976 ) полностью не вычислен; однако известно, что [ris] при [ris] откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности [ris] сглаживаемо, а при [ris] единственным образом. Напротив, гомотопич. тип топологич. пространства [ris] оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно [ris] Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологич. многообразии не превосходит числа элементов группы [ris]. Такие структуры заведомо существуют, если [ris] = = 0, но при [ris] кусочно-линейной структуры может не существовать.

В частности, на сфере [ris] существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере [ris] может быть много, напр., на [ris] существует 28 различных гладких структур. На торе Тⁿ (топологич. произведении n экземпляров окружности [ris]) существует при [ris] много различных кусочно-линейных структур, к-рые все допускают гладкую структуру. T. о., начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.

Задачу описания (с точностью до а-гомеоморфизма ) всех n-мерных [ris] связных компактных [ris] -многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопич. эквивалентности [ris] -многообразий и условия [ris] -гомеоморфности гомотопически эквивалентных [ris] -многообразий. Первая задача относится к гомотопич. Т. и в её рамках может считаться полностью решённой. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных [ris] -многообразий ). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники " разложения на ручки". С помощью этой техники удаётся, напр., доказать для n -мерных [ris] топологич. многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологич. многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфной ).

Наряду [ris] -многообразиями можно рассматривать т. н. [ris] -многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности нек-рых их точек (составляющих край ) [ris] -гомеоморфны полупространству [ris] пространства IR". Край является (n - 1 ) -мерным а-многоооразием (вообще говоря, несвязным ). Два n -мерных компактных а-многообразия X и У наз. (ко ) бордантными, если существует такое (п + 1)-мерное компактное а-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, а-гомеоморфных X и У. Если отображения вложения [ris] и [ris] являются гомотопич. эквивалентностями, то гладкие многообразия наз. [ris] -кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при [ris] односвязные компактные а-многообразия а-гомеоморфны, если они h-кобордантны. Эта теорема о h-кобордизме доставляет сильнейший способ установления а-гомеоморфности а-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием ). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных а-многообразий.

Совокупность П ^п классов кобордантных компактных а-многообразий является по отношению к операции связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс а-многообразий, являющихся краями, т. е. кобор-дантных нулю. Оказывается, что эта группа при а = 5 изоморфна гомотопич. группе п_2n+1 МО(п +1 ) нек-рого специально сконструированного топологич. пространства МО (п + 1 ), наз. пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при ос = р, t. Поэтому методы алгебраич. Т. позволяют в принципе вычислить группу П_аⁿ. В частности, оказывается, что группа П_Sⁿ является прямой суммой групп Z₂ в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2^m - 1. Напр., П_S³ = 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем ). Напротив, П_S² = = Z₂, так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, напр., является проективная плоскость IRP². М. М. Постников.