Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Общая топология






Часть Т., ориентированная на ак-сиоматич. изучение непрерывности, наз. общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Акеиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными ) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологич. структурой, или топологией, на множестве X наз. такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1 ) пустое множество 0 и всё X открыты; 2 ) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на к-ром задана топологич. структура, наз. топологическим пространством. В топологич. пространстве X можно определить все осн. понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Напр., окрестностью точки х е X наз. произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множеств о А с X наз. замкнутым, если его дополнение X \ А открыто; замыканием множества А наз. наименьшее замкнутое множество, содержащее А; если это замыкание совпадает с X, то Л наз. всюду плотным в Хит. д.

По определению, 0 и X являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в X нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологич. пространство X наз. связным. Наглядно связное пространство состоит из одного " куска", а несвязное - из нескольких.

Любое подмножество А топологич. пространства X обладает естественной топологич. структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабжённое этой структурой А наз. подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой нек-рую её е-окрестность (шар радиуса е с центром в этой точке ). В частности, любое подмножество n -мерного евклидова пространства IRn является топологич. пространством. Теория таких пространств (под назв. " геометрич. Т." ) и теория метрич. пространств включаются по традиции в общую Т.

Геометрич. Т. довольно чётко распадается на две части: изучение подмножеств IRn произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является т. н. теория континуумов, т. е. связных ограниченных замкнутых множеств ), и изучение способов, какими в IRn могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т. п. (вложения в IRn, напр., сфер могут быть очень сложно устроенными ).

Открытым покрытием топологич. пространства X наз. семейство его открытых множеств, объединением к-рого является всё X. Топологич. пространство X наз. компактным (в другой терминологии - бикомпактным ), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классич. теорема Гейне-Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество IRn компактно. Оказывается, что все осн. теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (напр., теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения ) справедливы для любых компактных топологич. пространств. Это определяет фундаментальную роль, к-рую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования ). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений общей Т., имеющих общематематическое значение.

Открытое покрытие [ris] наз. вписанным в покрытие [ris], если для любого [ris] существует а такое, что [ris] Покрытие [ris], наз. локально конечным, ' если каждая точка [ris] обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологич. пространство наз. паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологич. пространств, получающихся наложением т. н. условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологич. пространства, т. е. пространства [ris], в к-рых можно ввести такую метрику [ris], что Т., порождённая [ris] в X, совпадает с Т., заданной в X.

Кратностью открытого покрытия наз. наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологич. пространства X можно вписать открытое покрытие кратности [ris] обозначается символом [ris] и наз. размерностью [ris] Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрич. ситуациях [ris] совпадает с обычно понимаемой размерностью, напр. [ris] Возможны и др. числовые функции топологич. пространства X, отличающиеся от dim X, но в простейших случаях совпадающие с dim X. Их изучение составляет предмет общей теории размерности - наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, напр., дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрич. фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т. п.

Важные классы топологич. пространств получаются наложением т. н. аксиом отделимости. Примером является т. н. аксиома Хаусдорфа, или аксиома [ris], требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологич. пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, наз. хаусдорфовым, или отделимым. Нек-рое время в математич. практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (напр., любое метрич. пространство хаусдорфово ). Однако роль нехаусдорфовых топологич. пространств в анализе и геометрии постоянно растёт.

Топологич. пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би ) компактных пространств, наз. вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать нек-рой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки [ris] и любого не содержащего её замкнутого множества [ris] существовала непрерывная функция [ris] равная нулю в x o и единице на [ris]

Топологич. пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, наз. локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств ) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство ). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из [ris]

Отображение [ris] топологич. пространства [ris] в топологич. пространство [ris] наз. непрерывным отображением, если для любого открытого множества [ris] множество [ris] открыто в X. Непрерывное отображение наз. гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение [ris]: [ris] непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологич. пространств [ris], перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологич. свойства (т. е. свойства, формулируемые в терминах открытых множеств ) этих пространств одни и те же, и с топологич. точки зрения гомеоморфные топологич. пространства (т. е. пространства, для к-рых существует хотя бы один гомеоморфизм [ris]) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, к-рые можно совместить движением). Напр., гомеоморфны (" топологически одинаковы" ) окружность и граница квадрата, шестиугольника и т. п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек ) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна " восьмёрке" ). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки ).

Пусть [ris] - произвольное семейство топологич. пространств. Рассмотрим множество X всех семейств вида [ris] где [ris] (прямое произведение множеств [ris]). Для любого [ris] формула [ris] определяет нек-рое отображение [ris] (наз. проекцией ). Вообще говоря, в X можно ввести много топологич. структур, относительно к-рых все отображения [ris] непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (т. е. содержащаяся в любой такой структуре). Снабжённое этой топологич. структурой множество [ris] наз. топологич. произведением топологич. пространств [ris] и обозначается символом [ris] (а в случае конечного числа сомножителей - символом [ris]

В явном виде открытые множества пространства [ris] можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида [ris] где [ris] открыто в [ris] Топологич. пространство [ris] обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений [ris] существует единственное непрерывное отображение [ris] для к-рого [ris] при всех [ris]. Пространство [ris] является топологическим произведением п экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологич. произведение компактных топологич. пространств компактно.

Если [ris] - топологич. пространство, а [ris] - произвольное множество и если задано отображение [ris] пространства [ris] на множество [ris] (напр., если [ris] является фактормножеством [ris] по некоторому отношению эквивалентности, а р представляет собой естеств. проекцию, сопоставляющую с каждым элементом [ris] его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологич. структуры, относительно к-рой отображение р непрерывно. Наиболее " богатую" (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в У все те множества [ris], для к-рых множество [ris] открыто в X. Снабжённое этой топологич. структурой множество Y наз. факторпространством топологич. пространства X (по отношению к р). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение [ris] тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение [ris]: [ris] Непрерывное отображение р: [ris] наз. факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к р факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение [ris] наз. открытым, если для любого открытого множества [ris] множество [ris] открыто в У, и замкнутым, если для любого замкнутого множества [ris] множество [ris] замкнуто в У. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения [ris], для которых [ris], являются факторными.

Пусть X - топологич. пространство, А - его подпространство и [ris] - непрерывное отображение. Предполагая топологич. пространства X и У непересекающимися, введём в их объединении [ris] топологич. структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из [ris] Далее, введём в пространстве [ris] наименьшее отношение эквивалентности, в к-ром [ris] для любой точки [ris]. Соответствующее факторпространство обозначается символом [ris], и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологич. пространства X к топологич. пространству [ris] посредством непрерывного отображения [ris]. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, т. к. позволяет получать из сравнительно простых топологич. пространств более сложные. Если У состоит из одной точки, то пространство [ris] обозначается символом [ris] и о нём говорят, что оно получено из X стягиванием А в точку. Напр., если X - диск, а А - его граничная окружность, то [ris] гомеоморфно сфере.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.