Равномерная топология

Часть Т., изучающая аксиоматич. понятие равномерной непрерывности, наз. равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрич. пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрич. пространств. Подробно исследованы два аксиоматич. подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.

Подмножества А и В метрич. пространства X наз. близкими (обозначение [ris]), если Для любого [ris] существуют точки [ris], расстояние между к-рыми [ris]. Принимая осн. свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой ) структурой близости на множестве X наз. такое отношение [ris] на множестве всех его подмножеств, что: 1 ) [ris] (символом [ris] обозначается отрицание отношения [ris] и [ris]

4 ) если [ris] то существует такое множество [ris] что [ris] Множество, в к-ром задана структура близости, наз. пространством близости. Отображение пространства близости X в пространство близости Y наз. близостно непрерывным, если образы близких в X множеств близки в Y. Пространства близости X и У наз. близостно гомеоморфными (или эквиморфными ), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение [ris], обратное к к-рому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение наз. эквиморфизмо м ). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрич. пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово ) топологич. пространство, считая подмножество [ris] открытым, если [ris] для любой точки [ris] При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями.

Класс топологич. пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологич. пространств. Для любого вполне регулярного пространства X все структуры близости на X, порождающие его топологич. структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии ст. н. компактификациями (в другой терминологии - бикомпактными расширениями ) вХ - компактными хаусдорфовыми топологич. пространствами, содержащими X в качестве всюду плотного пространства. Структура близости [ris], соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что [ris] тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в b Х. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологич. пространстве X существует единственная структура близости, порождающая его топологич. структуру.

Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрич. пространстве X можно определить в терминах отношения " точки х и у находятся на расстоянии, не большем е". С общей точки зрения, отношение на X есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения [ris] Отношение " тождество" является с этой точки зрения диагональю [ris] т. е. множеством точек вида [ris] Для любого отношения

[ris] отношений U и V определена их композиция [ris] существует [ris] такое, что [ris]. Семейство отношений [ris] наз. (отделимой ) равномерной структурой на X (а отношения U наз. окружениями диагонали ), если: 1 ) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2 ) каждое окружение диагонали содержит [ris], и пересечение всех окружений диагонали совпадает с [ris]; 3 ) вместе с U окружением диагонали является и U^-1; 4 ) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что [ris] Множество, наделённое равномерной структурой, наз. равномерным пространством. Отображение [ris] равномерного пространства X в равномерное пространство Y наз. равномерно непрерывным, если прообраз при отображении [ris] любого окружения диагонали [ris][ris] содержит нек-рое окружение диагонали из [ris]. Равномерные пространства X и У наз. равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение [ris], обратное к к-рому также является равномерно непрерывным отображением.

В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на X определяет нек-рую структуру близости: [ris] тогда и только тогда, когда [ris] для любого окружения диагонали [ris] При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.