Объем понятия. Элементы теории множеств.

Остановимся теперь на втором элементе логической структуры понятия, на его объеме.

О б ъ е м о м понятия называется множество предметов, каждый из которых является носителем признаков, образующих содержание понятия.

Например, в объем понятия «столица» входят предметы: «Киев», «Варшава», «Париж». Но в объем этого понятия не войдут предметы: «Харьков», «Краков», «Нью-Йорк», поскольку ни один из этих городов не является носителем признака «быть столичным городом».

Как вы заметили, в самом определении объема понятия фигурирует термин «множество». Дело в том, что объемом любого понятия является некоторое множество, что позволяет изучить природу объема понятия, смоделировать его структурные и функциональные особенности на таком объекте, как множество. Так что в дальнейшем для нас объемом понятия будет множество, и мы будем обращаться с ним как с объемом конкретных понятий. Подобная точка зрения обусловливает необходимость определения множества и характеристики его основных признаков.

М н о ж е с т в о м называется произвольная совокупность определенных и различаемых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Множество – это абстракция, при которой каждый предмет, входящий в него, рассматривается лишь с точки зрения того признака, который позволяет включить его в состав данного множества. Поэтому предметы, образующие множество, не различимы между собой (им приписываются одни и те же признаки).

Например, множество книг, множество государств, множество растений. Для каждого из предметов, входящих в перечисленные множества, характерным является то, что им все присущи признаки, на основе которых образованы эти множества: «быть книгой», «быть государством», «быть растением».

Вообще говоря, предметы, входящие в множество, различаются между собой. Но их различение осуществляется не по свойствам и отношеним, а по их именам. Так, во множестве государств каждый из предметов как носитель признака «быть государством» не отличается от других, но отличаетсч как индивидуальность, как носитель собственного имени («Украина», «Франция», «Аргентина» и.т.д. ).

Предметы, принадлежащие к определенному множеству, называются его элементами. Обозначают их малыми буквами латинского алфавита:

а, в, с....; х, у z...( или а₁, а₂, а₃...; х₁, х₂, х_3; ...).

Сами множества обозначают большими буквами латинского алфавита:

А, В, С...; Х, У, Z....

Множество, которое содержит конечное число элементов, называется конечным (например, множество планет Солнечной системы; множество формально-логических законов). А множество, которое содержит бесконечное множество элементов, называется бесконечным (например, множество целых положительных чисел).

Поскольку множества могут состоять из объектов любой природы, то понятие множества носит универсальный характер и, как следствие, может использоваться в самых различных областях (в математике, биологии, лингвистике и т.д.), а не только в логике.

Между множеством и его элементами существует отношение принадлежности. Принаждежать к множеству означает быть носителем признака, на основе которого образовано данное множество. Отношение принадлежности элемента множеству обозначается знаком «Î». Факт принадлежности элемента «х» к множеству «А» записывается так:

«х Î А». Факт непринадлежности элемента «х» к множеству А» символически записывается так:

«х ∉ А».

Если два множества А и В образованы из одних и тех же элементов, то они считаются равными: «А = В», а если нет, то: «А ≠ В».

Существует два важнейших способа задания множеств. Первый заключается в простом пересчете элементов, образующих данное множество. Например, множество арифметических действий, множество планет Солнечной системы. Этому способу соответствует сдедующая запись: А = {х₁, х₂, х₃, х₄}, В = { х₁, х₂, х₃,... х₉ }.

Данный способ является эффективным, когда имеем дело с конечными множествами[11]. Когда же рассматриваются бесконечные множества, то такой способ не подходит. В этих случаях используют другой способ, заключающийся в задании множества через его характеристическое свойство. Характеристическим называется свойство, принадлежащее каждому элементу множества и не принадлежащее ни одному предмету, не являющемуся элементом данного множества. Записывается это так:

М = {х ½ А(х)},

то есть «множество всех «х», обладающих свойством «А».

Специально следует выделить универсальное множество, то есть множество, состоящее из всех элементов исследуемой предметной области. Обозначается универсальное множество буквой «U», а графически изображается множеством точек внутри прямоугольника.

 

......................... ......................... ..........................

 

 

Кроме универсального множества, выделяют пустое множество, то есть множество, не содержащее ни одного элемента (например, «множество деревьев, являющихся проводниками электрического тока», «множество металлов, которые легче воздуха»). Пустое множество обозначается символом Æ.

Любую часть множества называют подмножеством. Если универсальное множество задать с помощью характеристического свойства Q:

U = { х ½ Q(х)},

то любые множества А, В, С..., являющиеся частями универсального множества U, определяются свойствами соответственно так:

⇐ Предыдущая32333435363738394041Следующая ⇒