Минимизация издержек при постоянном уровне выпуска

Пусть заданы производственная функция вида (8.1) функция затрат на ресурсы и . Уровень производства задан величиной . Требуется найти точку оптимального распределения ресурсов (называемую также точкой наиболее экономичного производства) такую, что при данном уровне выпуска издержки были минимальны:

(8.10)

Задача (8.10) задача на условный экстремум, решаемая методом множителя Лагранжа. Вводится функция Лагранжа

Необходимое условие точки условного экстремума имеет вид:

Пример 8.4. Используя ПФ CES предприятия из примера 8.2, найти точку наиболее экономичного производства такую, что при уровне выпуска издержки были минимальны.

Решение. Программа в среде Maple имеет вид.

[> restart; with(Optimization): Digits: =6: [> F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho); C: =w[1]*K+w[2]*L; Pribyl: =P*F-C; [> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: w[1]: =1.5: w[2]: =2: P: =6: Q[0]: =100: [> F_Lagrang: =C+lambda*(Q[0]-F); [> Gradient_F_Lagrang: ={diff(F_Lagrang, K), diff(F_Lagrang, L), diff(F_Lagrang, lambda)}; sys: ={Gradient_F_Lagrang[1]=0, Gradient_F_Lagrang[2]=0, Gradient_F_Lagrang[3]=0}: Optimal_Raspred: =fsolve(sys, {K, L, lambda}); [> K: =rhs(Optimal_Raspred[1]): L: =rhs(Optimal_Raspred[2]): Minimum_C: =evalf(C); Maximum_Pribyl: =evalf(Pribyl); [> K: ='K': L: ='L': [> Min_C: =evalf(Minimize(C, {F=Q[0]}, assume=nonnegative)); [> Max_Pribyl=evalf(Maximize(Pribyl, {F=Q[0]}, assume=nonnegative));