С помощью коэффициента эластичности. Логистические кривые

Наряду с подходом построения функции спроса, основанным на теории полезности, существует также подход, основанный на использовании коэффициента эластичности, в основе которого лежат некоторые допущения.

Ограничимся построением однофакторной функции спроса от дохода , предполагая, что все остальные факторы (в частности, цены на товары) фиксированы. Реакция потребителя товара на изменение дохода может быть оценена с помощью коэффициента эластичности

(7.9)

функции спроса от дохода .

Основные характеристики коэффициента эластичности даны в табл. 7.3.

Таблица 7.3.

№	Экономический смысл характеристики коэффициента эластичности	Математическая интерпретация
	С ростом доходов спрос на товар увеличивается (функция спроса является возрастающей, )
	При увеличении доходов потребителя рост спроса на многие товары с какого-то момента начинает замедляться, и в конце концов останавливается на некотором фиксированном уровне. При одинаковом доходе значение коэффициента эластичности в группах с более высоким значением удовлетворенного спроса увеличивается меньше, чем в группах с низким уровнем удовлетворенного спроса	Частная производная коэффициента эластичности по спросу отрицательна:
	В более обеспеченной группе реакция на рост дохода может оказаться более сильной, поскольку потребление одинаково, но у более обеспеченной группы более широкие возможности расширять потребление данного товара	Частная производная коэффициента эластичности по доходу положительна:

В теории потребления часто используется зависимость вида

, (7.10)

где коэффициент определяет скорость реакции населения данной потребительской группы на изменение дохода, представляет предельное значение уровня спроса. Нетрудно проверить, что коэффициент эластичности (7.10) удовлетворяет условиям

, , .

Сопоставляя формулы (7.9), (7.10), и задавая начальное условие

( начальное значение спроса при начальном уровне доходе ), получаем следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

, . (7.11)

Решив уравнение (7.11), получаем функцию спроса от дохода

(7.12)

Далее приводится решение задачи в среде Maple c коэффициентом эластичности вида (7.10) при , , .

[> restart; with(DEtools): /определяем коэффициенты эластичности (7.9) и (7.10)/ [> Elast1: =(I_/Q(I_))*diff(Q(I_), I_); Elast2: =k*I_*(Qmax-Q(I_)); [> a: =solve(Elast1=Elast2, diff(Q(I_), I_)); /составляем дифференциальное уравнение (7.11)/ [> ODE1: =diff(Q(I_), I_)=a; ICs: =Q(0)=Q[0]; /решаем дифференциальное уравнение (7.11) с помощью процедуры dsolve/ [> Function_Sprosa: =dsolve({ODE1, ICs}, Q(I_)); /задаем значения коэффициентов и начального условия/ [> k: =0.05: Qmax: =20: Q[0]: =2: [> Function_Sprosa: =rhs(Function_Sprosa); [> plot(Function_Sprosa, I_=0..Qmax, thickness=4, color=black, view=[0..Qmax+2, 0..Qmax+1]); [> f[1]: =diff(Function_Sprosa, I_): f[2]: =diff(f[1], I_): /вычисляем точку перегиба графика функции спроса/ [> Point_Peregib: =fsolve(f[2], I_); [> limit(Function_Sprosa, I_=infinity); /график функции спроса имеет горизонтальную асимптоту/

График кривой функции спроса (7.12) называется логистической кривой (или кривой с насыщением), поскольку она имеет горизонтальную асимптоту .

Существуют и другие формулы, определяющие коэффициент эластичности (7.9). В табл. 7.4 приведены наиболее часто используемые из них.

Таблица 7.4.

№	Коэффициент эластичности	Частные производные ,	Аналитический вид функции спроса
		,
		,

Примером логистической функции служит также зависимость вида:

(7.13)

где определяет длительность жизненного цикла реализации проекта, сумма, выделенная на реализацию проекта.

Эта функция используется в теории управления для определения распределения стоимости затрат по жизненному циклу проекта и задает зависимость нарастающего итога стоимости затрат по проекту в -ом периоде ().

Из функции (7.13) можно получить функцию погодового распределения затрат по проекту:

(7.14)

Далее приводится решение задачи в среде Maple при , и разных значениях (). Графики функций изображены тремя цветами: при кривая изображена черным цветом, при синим, при красным.

В программе используются следующие переменные:

Переменная	Назначение, описание
W	Логистическая функция вида (7.3)
W_	Логистическая функция
W1, W2, W3	Логистические функции вида (7.3) при значениях соответственно
W1_, W2_, W3_	Логистические функции при соответственно
s1, s2, s3	Функции погодового распределения затрат по проекту при соответственно

[> restart; [> W: =S*(t/T*exp(1-t/T))^a; W_: =S*((t-1)/T*exp(1-(t-1)/T))^a; [> S: =1: T: =12: [> a: =2: W1: =W; W1_: =W_; s1: =W1-W1_; [> a: =4: W2: =W; W2_: =W_; s2: =W2-W2_; [> a: =8: W3: =W; W3_: =W_; s3: =W3-W3_; [> plot([W1, W2, W3], t=0..T, thickness=4, color=[black, blue, red], view=[0..T+2, 0..S]); [> plot([s1, s2, s3], t=0..T, thickness=4, color=[black, blue, red], view=[0..T+2, 0..0.3]);