Уравнение Слуцкого

Пусть спрос определяется как вектор-функция многих переменных (7.1)

,

где многофакторная функция спроса на

-й товар; имеющийся у потребителя доход; – вектор цен товаров ( – цена единица -го товара ).

Методы дифференциального исчисления позволяют выяснить, как меняются полезность и спрос потребителя на набор товаров при изменении цен () на каждый товар. Увеличение цены товара на малую величину снижает спрос на него на величину , и уменьшается полезность (происходит переход с данной линии уровня функции полезности на другую).

Для сохранения полезности на прежнем уровне вводится понятие компенсированного изменения цены, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния.

Практически компенсированное изменение цены () можно представить графически (см. рис. 7.1). Пусть цена первого товара повысилась с до , при этом бюджетная прямая из положения 1 перешла в положение 2. Точка на линии безразличия заменится на новую точку , где линия касается новой бюджетной прямой.

Если мы хотим компенсировать потребителю потерю благосостояния, то необходимо увеличить его доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3 коснулась прежней линии безразличия в точке . Направленный отрезок показывает эффект замены при росте цены (изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостония). Направленный отрезок отражает эффект дохода. Общий результат роста цены (при отсутствии компенсации) выражается направленным отрезком .

Рис. 7.1.

Уравнение Е.Е. Слуцкого позволяет аналитически связать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса. В векторной форме оно имеет вид:

(), (7.7)

где вектор называют эффектом замены, вектор эффектом дохода.

Величина описывает действие эффекта замены при наличии компенсации (индекс показывает, что частная производная рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода). Величина описывает действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах, что и эффект замены (множитель приводит их к одной размерности). Вектор представляет собой результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.

Приведем следствия из уравнения Слуцкого (табл. 7.2).

Таблица 7.2.

№	Частная производная	Экономическая интерпретация результата
		– ценный товар (спрос на товар растет при росте дохода), (спрос растет больше при наличии компенсации)
		Товары и взаимозаменяемы, представляются взаимодополняемыми без учета компенсации
		При компенсированном увеличении цены товара спрос на него всегда падает
		Товар является малоценным:
		Товары , называются взаимозаменяемыми (компенсируемое увеличение цены на товар приводит к увеличению спроса на товар )
		Товары , называются взаимодополняемыми (компенсируемое увеличение цены на товар приводит к снижению спроса на оба товара)

Уравнение Слуцкого (7.7) позволяет найти векторы , зная аналитический вид многофакторных функций спроса . В скалярной форме при наличии двух товаров () уравнение Слуцкого приобретает вид системы из 4-х уравнений:

Рассмотрим пример использования уравнения Слуцкого.

Пример 7.4. Функция полезности для двух товаров имеет вид:

,

цены на товары , , доход ограничен величиной .

1. Найти аналитический вид многофакторных функций спроса , .

2. Рассчитать по уравнению Слуцкого (7.7) эффекты замены при наличии компенсации для товаров . Оценить товары с точки зрения их взаимозаменяемости или взаимодополняемости.