Решение. В программе используем следующие обозначения и переменные. Переменная в Maple Назначение переменной p[1,0]

В программе используем следующие обозначения и переменные.

Переменная в Maple	Назначение переменной
p[1, 0], p[2, 0], M_[0]	Значения цен , на товары, доход
Function_Sprosa_Q[1]	Функция спроса
Function_Sprosa_Q[2]	Функция спроса
Diff_Q1_p1, Diff_Q2_p1, Diff_Q1_p2, Diff_Q2_p2	Частные производные , , ,
Vector_Diff_Q_p1, Vector_Diff_Q_p2	вектор-столбцы ,
Diff_Q1_M, Diff_Q2_M	частные производные
Vector_Diff_Q_M	вектор-столбец
Vector_Diff_Q_M_Q1, Vector_Diff_Q_M_Q2	вектор-столбцы ,
Vector_Diff_Q_p1_Comp, Vector_Diff_Q_p2_Comp	вектор-столбцы

Ниже представлена программа в среде Maple.

[> restart; with(LinearAlgebra): /задаем функцию полезности, начальные вектор цен и максимальный доход/ [> p[1, 0]: =4: p[2, 0]: =5: M_[0]: =400: [> U: =3*ln(Q[1]-10)+4*ln(Q[2]-20); /находим аналитический вид функций спроса от цен и дохода/ [> g: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]-M; L: =U-lambda*g; [> sys: ={diff(L, Q[1])=0, diff(L, Q[2])=0, diff(L, lambda)=0}: [> optimal: =solve(sys, {Q[1], Q[2], lambda}); [> Function_lambda: =rhs(optimal[1]); Function_Sprosa_Q[1]: =rhs(optimal[2]); Function_Sprosa_Q[2]: =rhs(optimal[3]); [> Q[1]: =Function_Sprosa_Q[1]; Q[2]: =Function_Sprosa_Q[2]; /вычисляем левую часть уравнения Слуцкого (вектор эффекта замены )/ [> Diff_Q1_p1: =diff(Q[1], p[1]); Diff_Q2_p1: =diff(Q[2], p[1]); Diff_Q1_p2: =diff(Q[1], p[2]); Diff_Q2_p2: =diff(Q[2], p[2]); [> p[1]: =p[1, 0]: p[2]: =p[2, 0]: M: =M_[0]: [> Vector_Diff_Q_p1: =evalf(Matrix(2, 1, [Diff_Q1_p1, Diff_Q2_p1])); Vector_Diff_Q_p2: =evalf(Matrix(2, 1, [Diff_Q1_p2, Diff_Q2_p2])); /вычисление вектора эффекта дохода / [> p[1]: ='p[1]': p[2]: ='p[2]': M: ='M': [> Diff_Q1_M: =diff(Q[1], M); Diff_Q2_M: =diff(Q[2], M); [> p[1]: =p[1, 0]: p[2]: =p[2, 0]: M: =M_[0]: [> Vector_Diff_Q_M: =evalf(Matrix(2, 1, [Diff_Q1_M, Diff_Q2_M])); [> Vector_Diff_Q_M_Q1: =Matrix(2, 1, [Diff_Q1_M*Q[1], Diff_Q2_M*Q[1]]); Vector_Diff_Q_M_Q2: =Matrix(2, 1, [Diff_Q1_M*Q[2], Diff_Q2_M*Q[2]]); /вычисляем векторы эффекта компенсации / [> Vector_Diff_Q_p1_Comp: =MatrixAdd(Vector_Diff_Q_p1, Vector_Diff_Q_M_Q1); Vector_Diff_Q_p2_Comp: =MatrixAdd(Vector_Diff_Q_p2, Vector_Diff_Q_M_Q2);

Из расчетов следует, что так как , то товары и являются взаимозаменяемыми, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации. Так как , то оба товара являются ценными.

Далее в [3] доказано, что если есть точка локального рыночного равновесия, то векторы , удовлетворяют системе равенств

(7.8)

где -матрица (отрицательно-определенная), обратная к матрице Гессе

, (в силу определенно-отрицательности матрицы Гессе), вектор цен на товары. Индекс в матрице, стоящей в правой части второго равенства, означает, что необходимо брать -столбец.

Формулы (7.8) позволяют найти эффект замены (вектор ), не зная аналитический вид функции спроса на -й товар (все расчеты по формулам (7.8) ведутся в точке локального рыночного равновесия , хотя они имеют место и в том случае, если мы знаем аналитический вид многофакторной функции спроса на -товар).

Пример 7.5. Используя исходные данные (и обозначения) примера 7.4, рассчитать по формулам (7.8) эффекты замены при наличии компенсации и эффекты дохода для товаров . Сравнить с результатами примера 7.4.