Модель потребительского выбора. Функции полезности

При изучении поведения потребителя задача заключается в том, чтобы установить, в каких объемах он приобретает товары (или услуги) при заданных ценах и доходе. В общем виде [2, 3, 7, 8] спрос определяется как вектор-функция многих переменных

, (7.1)

где – набор товаров (), которые может приобрести потребитель, имеющийся у потребителя доход, – вектор цен товаров ( – цена единица -го товара ).

Основной подход [2, 3, 7, 8] к построению функции спроса (7.1) основан на функции полезности

(7.2)

в предположении, что она обладает следующими свойствами:

№	Свойство функции	Экономический смысл свойства
		С ростом потребления товара полезность растет ( предельная полезность товара )
		Небольшой прирост -го блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность
		При очень большом объеме -го блага его дальнейшее увеличение не приводит к увеличению полезности
		С ростом потребления -го блага скорость роста полезности замедляется, функция выпукла вверх (закон убывания предельной полезности, закон Госсена)
		Матрица Гессе определенно-отрицательна (функция полезности является выпуклой вверх)

Приведем примеры функций полезности (, интерпретируется как минимально необходимое количество -го блага; – коэффициент, характеризующий относительную ценность -го блага для потребителя):

№	Название функции	Аналитический вид функции полезности
	Логарифмическая	, , , ()
	Мультипликативная функция Р. Стоуна	, , , ()
	Аддитивная функция Р. Стоуна	, , , ()
	Функция Торнквиста (двух переменных)

Поверхностью безразличия называют гиперповерхность размерности , на которой полезность постоянна: или

. (7.3)

Условие (7.3) означает, что касательная к поверхности безразличия перпендикулярна к градиенту функции полезности.

Бюджетным множеством называют множество товаров , которые может приобрести потребитель, имея доход . Уравнение гиперповерхности

,

ограничивающей бюджетное множество, называется линией бюджетного ограничения.

Задача потребителя – максимизировать значение функции полезности на бюджетном множестве (ее решение определяет оптимальный спрос потребителя на данные товары).

Доказано [3], что функция , удовлетворяющая свойствам 1 – 5, достигает экстремума на линии бюджетного ограничения, что приводит к задаче нахождения условного максимума функции полезности:

.

Задача сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа

. (7.4)

В силу свойств функции полезности (7.2) необходимые условия экстремума

(7.5)

являются и достаточными условиями экстремума.

Они определяют единственную точку максимума функции Лагранжа (7.4), т.е. единственную точку условного максимума функции полезности при условии . Точка называется точкой локального рыночного равновесия.

Пример 7.1. Определить, какой оптимальный набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300 д.е., если функция полезности . Цены товаров равны соответственно , , д.е.

Решение. Рабочий лист Maple имеет вид:

[> restart; a[1]: =1/3: a[2]: =1/3: a[3]: =1/3: p[1]: =2: p[2]: =4: p[3]: =1: Imax: =300: /решаем задачу путем введения функции Лагранжа/ [> U: =((Q[1])^(a[1]))*((Q[2])^(a[2]))*((Q[3])^(a[3])); budget_ogran: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]+p[3]*Q[3]-Imax; L: =U-lambda*budget_ogran; [> sys: ={diff(L, Q[1])=0, diff(L, Q[2])=0, diff(L, Q[3])=0, diff(L, lambda)=0}: /находим оптимальное распределение товаров, точку локального рыночного равновесия/ [> optimal: =solve(sys, {Q[1], Q[2], Q[3], lambda}): [> evalf(optimal[1]); evalf(optimal[2]); evalf(optimal[3]); evalf(optimal[4]); /решаем исходную задачу условного экстремума с помощью команды Maximize из пакета Optimization/ [> restart; with(Optimization): a[1]: =1/3: a[2]: =1/3: a[3]: =1/3: p[1]: =2: p[2]: =4: p[3]: =1: Imax: =300: [> U: =((Q[1])^(a[1]))*((Q[2])^(a[2]))*((Q[3])^(a[3])); budget_ogran: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]+p[3]*Q[3]< =Imax; [> Optimal_Q: =Maximize(U, {p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]+p[3]*Q[3]< =Imax}, assume=nonnegative);