Примеры решения задач. Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct3

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A =4 м, B =2 м/с, С =-0, 5 м/с². Для момента времени t ₁=2 с определить: 1) координату x ₁ точки, 2) мгновенную скорость v ₁, 3) мгновенное ускорение a ₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t ₁:

x=A+Bt+Ct ³.

Подставим в это выражение значения A, В, С, t ₁ и произведем вычисления:

x =(4+4- 0, 5 2³) м=4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:

.

Тогда в заданный момент времени t ₁ мгновенная скорость v ₁= B +3C t ₁². Подставим сюда значения В, С, t ₁ и произведем вычисления: v ₁ =- 4 м/с. Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

.

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t ₁ равно a ₁ = 6 Ct ₁. Подставим значения С, t ₁и произведем вычисления:

a ₁=(-6 0, 5 2) м/с=-6 м/с. Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. При падении тела с большой высоты его скорость v _уст при установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время τ, в течение которого начиная от момента начала падения скорость становится равной 1/2 v _уст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.

Решение. На падающее тело действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха .

Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скорости тела и противоположна ей по направлению:

,

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и от свойств окружающей среды.

Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона в векторной форме:

.

Подставив выражение для , получим

.

Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось и напишем уравнение для проекций:

После разделения переменных получим

Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до τ (искомое время) скорость возрастает от нуля до 1/2 v _уст

После интегрирования получаем

Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства:

и найдем из полученного выражения искомое время:

Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим из следующих соображений. При установившемся движении (скорость постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось y) сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. mg—kv _уст=0, откуда k=mg/v _уст. Подставим найденное значение k в полученную формулу для τ:

После сокращений и упрощений получим

Подставив в эту формулу значения v _уст, g, ln2 и произведя вычисления, получим τ =5, 66 с.

Пример 3. Два шара массами m ₁=2, 5 кг и m ₂=1, 5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v ₁=6 м/с и v ₂ = 2 м/с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров W ₁ до и W ₂ после удара; 3) долю кинетической энергии w шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары движутся вдоль одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

,

откуда

.

Направление скорости первого шара примем за положительное; тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус:

u =(2, 5 6—1, 5 2)/(2, 5+1, 5) м/с=3 м/с.

2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам

; .

Произведя вычисления по этим формулам, получим

W ₁=(2, 5 6²/2+1, 5 2²/2)=48 (Дж); W ₂=(2, 5+1, 5) 3 ² =18 (Дж).

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения

; .

Пример 4. Платформа в виде диска радиусом R = 1, 5 м и массой m ₁ = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n =10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т ₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

,

где J ₁ - момент инерции платформы; J ₂ - момент инерции человека, стоящего в центре платформы; - угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J₂' - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; ω ' - угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

.

Определив отсюда ω ' и подставив полученное выражение в формулу закона сохранения момента импульса, будем иметь

v=(J ₁ +J ₂ )ω R/(J ₁ +J' ₂)

Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, . Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J ₂=0, J' ₂ =m ₂ R ². Угловая скорость платформы до перехода человека равна ω =2π n.

Заменив в формуле скорости величины J ₁, J ₂, J' ₂. и ω их выражениями, получим

Сделав подстановку значений т ₁, т ₂, п, R и π, найдем линейную скорость человека:

(м/с).

Пример 5. Кинетическая энергия W_K электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

где E ₀= m ₀ c ² - энергия покоя электрона.

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (β = v / c):

.

Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся, и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е ₀и W_K в мегаэлектрон-вольтах, получим β =0, 941.

Так как v= β c, то v =0, 941∙ 3∙ 10⁸= 2, 82·10⁸ (м/с).

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией W_K релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя. Если < < 1, частицу можно считать классической.

Пример 6. Материальная точка массой т =5 г совершает гармонические колебания с периодом Т =2 с. Амплитуда колебаний A =3 см. Определить: 1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х= 1, 5 см; 2) максимальную силу F_max, действующую на точку.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А², второе на A ²ω ² и сложим:

Решив последнее уравнение относительно v, найдем

Поскольку , получаем

Выполнив вычисления, получим м/c

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус – случаю, когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу второго закона Ньютона, получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, T, т и A, найдем Н.

Пример 7. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых , , где А ₁ = 1 см, A ₂=2 см, ω =π с^-1. Найти уравнение траектории точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений. Для этого воспользуемся формулой

В данном случае α =ω t, поэтому

Как следует из условия задачи, , и уравнение траектории

.

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений, заданных в условии задачи, следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.

Пример 8. Найти молярную массу М смеси кислорода массой m ₁=25 г и азота массой m ₂=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М _см есть отношение массы смеси т _см к количеству вещества смеси υ _см т.е.

M_см=m_см/υ _см

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси m _см= m ₁+ m ₂. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов.

Подставив в формулу (1) выражения m _см и υ _см, получим

Молярные массы M ₁ кислорода и М ₂, азота: M ₁ =32× 10^-3 кг/моль, М ₂=28× 10^-3 кг/моль. Подставим значения величин и произведем вычисления:

(кг/моль)

Пример 9. В баллоне объемом V =10 л находится гелий под давлением p ₁=l МПа при температуре T ₁=300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой m =10 г, температура в баллоне понизилась до T ₂=290 К. Определить давление p ₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона - Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа. Для начального состояния уравнение имеет вид

p ₁ V = RT₁,

а для конечного состояния –

p₂V= RT₂,

где m ₁ и m ₂ - массы гелия в начальном и конечном состояниях.

Выразим массы m ₁ и m ₂ гелия:

;

и вычтем m ₂ из m ₁:

Отсюда найдем искомое давление:

Подставив значения величин, получим р₂ =3, 64∙ 10⁵ Па

Пример 10. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака NH ₃ при температуре t =27° С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

где i - число степеней свободы молекулы; k - постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура газа: T = t + Т ₀, где Т ₀=273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой является молекула аммиака, равно 6.

Подставив значения величин, получаем

Дж.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется по формуле

где число 3 означает число степеней свободы поступательного движения.

Подставим значения величин и вычислим:

Дж.

Пример 11. Средняя длина свободного пробега < l > молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость < v > молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

где М - молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим < v > =362 м/с.

Среднее число z соударений молекулы в 1 с определяется отношением средней скорости < v > молекулы к средней длине ее свободного пробега < l >:

.

Подставив в эту формулу значения < v > =362 м/с, < l > =40 нм=4× 10^{-8 м, получим} z = 9, 05× 10⁹ с^-1.

Пример 12. Определить изменение D S энтропии при изотермиче­ском расширении кислорода массой m =10 г от объема V ₁=25 л до объема V ₂=100 л.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении энтропии температуру выносят за знак интеграла. Выполнив это, получим

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q= D U+A. Для изотермического процесса D U =0, следовательно, Q=A, а работа А для этого процесса определяется по формуле

С учетом этого получаем

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

DS=(10× 10^-3/(32× 10^-3)) × 8, 31 ln(100× 10^-3 / (25× 10^-3))=3, 60 (Дж/К).

ЗАДАЧИ

1. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v ₁=60 км/ч, остальную часть пути - со скоростью v ₂ = 80 км/ч. Какова средняя путевая скорость < v > автомобиля?

2. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v ₁=2 м/с, вторую - со скоростью v ₂=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость < v >.

3. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A =4 м/с, В= - 0, 05 м/с². Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.

4. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x ₁ =A ₁ +B ₁ t+C ₁ t², x ₂ =A ₂ +B ₂ t+C ₂ t², где A ₁=20 м, A ₂=2 м, B ₁ =B ₂ = 2 м/с, C ₁= - 4 м/с², С ₂=0, 5 м/с². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v ₁ и v ₂ и ускорения a ₁ и а ₂ точек в этот момент.

5. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x ₁ =A ₁ t+B ₁ t ² +C ₁ t ³, x ₂ =A ₂ t+B ₂ t ² +C ₂ t ³, где A ₁=4 м/c, B ₁=8 м/с², C ₁=- 16 м/с³, A ₂=2 м/с, B ₂ = - 4 м/с², С ₂=1м/с³. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v ₁ и v ₂ точек в этот момент.

6. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v ₀=20 м/с. Через какое время камень будет находиться на высоте h =15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g =10 м/с².

7. Вертикально вверх с начальной скоростью v ₀=20 м/с брошен камень. Через τ =1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

8. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt², где A =2 м/с, В= - 0, 5 м/с². Определить среднюю путевую скорость < v> движения точки в интервале времени от t ₁=l с до t ₂=3 с.

9. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt³, где A =6 м/с, В = - 0, 125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость < v> точки в интервале времени от t ₁=2 с до t ₂=6 с.

10. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h= 8, 6 м два раза с интервалом D t= 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

11. Движение материальной точки задано уравнением , где A =10 м, В = - 5 м/с², С =10 м/с. Найти выражения для скорости и ускорения . Для момента времени t =1с вычислить: 1) модуль скорости ; 2) модуль ускорения ; 3) модуль тангенциального ускорения ; 4)модуль нормального ускорения .

12. Движение точки по окружности радиусом R =4 м задано уравнением S = A+Bt+Ct², где A =10 м, В =-2 м/с, С =1 м/с². Найти тангенциальное а , нормальное a_n и полное а ускорения точки в момент времени t =2с.

13. По дуге окружности радиусом R= 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n =4, 9 м/с²; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол φ =60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение a точки.

14. Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению S = At³, где A =2 м/с³. В какой момент времени t нормальное ускорение а_n точки будет равно тангенциальному а ? Определить полное ускорение а в этот момент.

15. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A ₁ t ³ и y = A ₂ t, где A ₁=l м/с³, A ₂=2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t= 0, 8 с.

16. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v ₀=30 м/с. Определить скорость v, тангенциальное a и нормальное a_n ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

17. Диск радиусом R =20 см вращается согласно уравнению φ = A+Bt+Сt ³, где A =3 рад, В =-1 рад/с, С =0, 1 рад/с³. Определить тангенциальное a нормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t =10 с.

18. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N =50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n ₁=4 с¹ до n ₂=6 с¹. Определить угловое ускорение e и время вращения Δ t колеса.

19. Диск вращается с угловым ускорением ε = - 2 рад/с². Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n ₁=240 мин^-1 до n ₂=90 мин^-1? Найти время Δ t, в течение которого это произойдет.

20. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R= 50 м. Уравнение движения автомобиля имеет вид S (t) = A+Bt+Ct², где A =10 м, B =10 м/с, С =-0, 5 м/с². Найти скорость v автомобиля, его тангенциальное a _τ , нормальное а_n. и полное а ускорения в момент времени t =5 с.

21. Два бруска массами m ₁=l кг и m ₂=4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F =10 H, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу F =10 Н приложить к первому бруску? ко второму бруску? Трением пренебречь.

22. Наклонная плоскость, образующая угол α =25° с плоскостью горизонта, имеет длину l=2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t =2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

23. Материальная точка массой т= 2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x=A+Bt+Ct²+Dt ³, где С =1 м/с², D=- 0, 2 м/с³. Найти значения этой силы в моменты времени t ₁ =2 с и t ₂=5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

24. Шарик массой m =300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс p ₁, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v ₀=10 м/с, направленную под углом α =30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

25. Автоцистерна с керосином движется с ускорением а =0, 7 м/с². Под каким углом α к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне?

26. Бак в тендере паровоза имеет длину l =4 м. Какова разность Δ l уровней воды у переднего и заднего концов бака при движении поезда с ускорением a =0, 5 м/с²?

27. Катер массой m =2 т с двигателем мощностью N =50 кВт развивает максимальную скорость v _mах =25 м/с. Определить время τ, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости.

28. Снаряд массой т= 10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью v ₀=800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k =0, 25 кг/с.

29. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой m =100 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени Δ t ускорение а груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления k =10 кг/с.

30. Моторная лодка массой m =400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0, 2 кН. Считая силу сопротивления F _c пропорциональной скорости, определить скорость v лодки через Δ t =20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k =20 кг/с.

31. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека М = 60 кг, масса доски т= 20 кг. С какой скоростью и (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) v= 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

32. В лодке массой m ₁=240 кг стоит человек массой m ₂=60 кг. Лодка плывет со скоростью v ₁=2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v =4 м/с (относительно лодки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

33. Диск радиусом R=40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ =0, 4, найти частоту п вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

34. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения μ колес о покрытие дороги равен 0, 1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос?

35. Материальная точка массой m =2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ох согласно уравнению x=A+Bt+Ct ² +Dt³, где В = - 2 м/с, С =1 м/с², D = - 0, 2 м/с³. Найти мощность N, развиваемую силой в момент времени t ₁=2 с и t ₂=5 с.

36. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом R =4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

37. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m ₁=5 кг и вследствие отдачи покатился назадсо скоростью v ₂=1 м/с. Масса конькобежца m ₂=60 кг. Определить работу A, совершенную конькобежцем при бросании гири.

38. Два неупругих шара массами m ₁=2 кг и m ₂=3 кг движутся со скоростями соответственно v ₁=8 м/с и v ₁=4 м/с. Определить увеличение D U внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

39. Шар массой m ₁, летящий со скоростью v ₁=5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m ₂. Удар прямой, неупругий. Определить скорость и шаров после удара, а также долю ω кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) т ₁ = 2 кг, m ₂=8 кг; 2) m ₁=8 кг, m ₂=2 кг.

40. Шар массой m ₁=200 г, движущийся со скоростью v ₁=10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m ₂=800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости v ₁ и v ₂ шаров после удара?

41. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольни­ка со сторонами а =12 см и b =16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью τ =0, 1 кг/м.

42. Определить момент инерции J кольца массой т =50 г и радиусом R =10 см относительно оси, лежащей в плоскости кольца и касательной к нему.

43. Диаметр диска d =20 см, масса т =800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

44. Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной пластины массой т =800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см.

45. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами а =10 см и b =20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью σ =1, 2 кг/м².

46. Тонкий однородный стержень длиной l =50 см и массой m =400 г вращается с угловым ускорением ε =3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

47. Вал массой m =100 кг и радиусом R= 5см вращался с частотой n =8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F =40 H, под действием которой вал остановился через t =10 с. Определить коэффициент трения μ.

48. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m ₁=100 г и т ₂=110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

49. Шар массой m =10 кг и радиусом R =20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ = A+Bt²+Ct ³, где В =4 рад/с², С = - 1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t= 2с.

50. Через неподвижный блок массой т =0, 2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁= 0, 3кг и m₂=0, 5 кг. Определить силы натяжения T ₁ и T ₂ шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

51. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m =0, 4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v =20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r =0, 8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м²?

52. Шарик массой т= 100 г, привязанный к концу нити длиной l ₁=l м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n ₁=1 с^-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния l ₂=0, 5 м. С какой частотой n ₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

53. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением φ =A+Bt+Ct², где A =2 рад, B =32 рад/с, С = - 4 рад/с². Найти среднюю мощность < N>, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J =100 кг· м².

54. Маховик в виде диска массой m =80 кг и радиусом R= 30см находится в состоянии покоя. Какую работу A ₁нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n =10 с^-1? Какую работу A ₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

55. Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг·м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М =20 Н· м. Вращение продолжалось в течение t= 10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком.

56. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу т =2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v =5 м/с. Найти кинетические энергии W ₁ и W ₂ этих тел.

57. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.

58. Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h= 1м.

59. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l =2 м и высотой h =10 см?

60. Тонкий прямой стержень длиной l= 1м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол φ =60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

61. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро­стью v =0, 6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

62. Собственное время жизни τ ₀ мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l =6 км. С какой скоростью v (в долях ско­рости света) двигался мезон?

63. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v ₁=0, 6 с и v ₂=0, 9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u ₂₁ в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

64. С какой скоростью v движется частица, если ее релятивистская масса в три раза больше массы покоя?

65. Электрон движется со скоростью v =0, 6 с. Определить релятивистский импульс р электрона.

66. Импульс р релятивистской частицы равен т ₀ с (т ₀ - масса покоя). Определить скорость v частицы (в долях скорости света).

67. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Δ m =1 г?

68. Кинетическая энергия W_K электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

69. Электрон летит со скоростью v =0, 8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).

70. При какой скорости v кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

71. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с угловой частотой ω =π /2 с^–1 и амплитудой А= 3см.

72. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение x_mах точки равно 10 см, наибольшая скорость v_max =20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное ускорение точки.

73. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и , где A ₁ = 2 см, A ₂=1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее.

74. Колебания материальной точки массой т =0, 1 г происходят согласно уравнению х = A cosω t, где A =5 см; ω =20 с^-1. Определить максимальные значения возвращающей силы F_max и кинетической энергии W _mах.

75. Математический маятник длиной l ₁=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l ₂=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.

76. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁ =5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

77. За время t =8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в 3 раза. Определить коэффициент затухания δ.

78. Амплитуда колебаний маятника длиной l= 1м за время t =10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний θ.

79. Вагон массой т =80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости v вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12, 8 м?

80. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты υ ₀=l кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания δ =400 с^-1.

81. Подсчитать число молекул, содержащихся в 1 кг углекислого газа; найти массу одной молекулы.

82. Вычислить для нормальных условий число молекул в 1 м³ углекислого газа и найти массу одной молекулы.

83. Найти массу молекул кислорода, углекислого газа, водяного пара, аммиака NH ₃.

84. Найти молярную массу М и массу m₁ одной молекулы серной кислоты H₂SO₄.

85. В сосуде вместимостью V =2 л находится кислород, количество вещества v которого равно 0, 2 моль. Определить плотность r газа.

86. Определить количество вещества v и число N молекул азота массой m =0, 2 кг.

87. В баллоне вместимостью V =3 л находится кислород массой m =4 г. Определить количество вещества v и число N молекул газа.

88. Кислород при нормальных условиях заполняет сосуд вместимостью V =11, 2 л. Определить количество вещества v газа и его массу m.

89. Определить количество вещества v водорода, заполняющего сосуд вместимостью V =3 л, если плотность газа r=6, 65× 10^-3 кг/м³.

90. В сосуде вместимостью V =5л находится однородный газ количеством вещества υ =0, 2 моль. Определить, молярную массу этого газa, если его плотность r=1, 12 кг/м³.

91. При нагревании идеального газа на D Т =1 К при постоянном давлении объем его увеличился на 1/350 первоначального объема. Найти начальную температуру T газа.

92. В баллоне вместимостью V =25 л находится водород при температуре T =290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на D p =0, 4 МПа. Определить массу Δ m израсходованного водорода.

93. Какой объем V занимает смесь азота массой m ₁=1 кг и гелия массой m ₂=1 кг при нормальных условиях?

94. В баллонах вместимостью V ₁=20 л и V ₂=44 л содержится газ. Давление в первом баллоне p ₁=2, 4 МПа, во втором - p ₂=1, 6 МПа. Определить общее давление р и парциальные p '₁ и p '₂после соединения баллонов, если температура газа осталась прежней.

95. В сосуде вместимостью V =0, 01 м³ содержится смесь азота массой m ₁=7 г и водорода массой m ₂=1 г при температуре Т =280 К. Определить давление р смеси газов.

96. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением p =1 МПа. Определить парциальные давления p ₁ кислорода и p ₂ азота, если массовая доля w₁ кислорода в смеси равна 0, 2.

97. Баллон вместимостью V =30 л содержит смесь водорода и гелия при температуре T =300 К и давлении р= 828 кПа. Масса m смеси равна 24 г. Определить массу m ₁ водорода и массу m ₂ гелия.

98. Баллон вместимостью V =5 л содержит смесь гелия и водорода при давлении р =600 кПа. Масса m смеси равна 4 г, массовая доля w₁ гелия равна 0, 6. Определить температуру Т смеси.

99. В сосуде находится смесь кислорода и водорода. Масса m смеси равна 3, 6 г. Массовая доля w₁ кислорода составляет 0, 6. Определить количество вещества v смеси, v ₁ и v ₂ каждого газа в отдельности.

100. В колбе вместимостью V =240 см³ находится газ при температуре Т =290 К и давлении р =50 кПа. Определить количество вещества v газа и число N его молекул.

101. В колбе вместимостью V =100 см³ содержится некоторый газ при температуре T =300 К. На сколько понизится давление р газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N= 10²⁰ молекул?

102. Давление р газа равно 1 мПа, концентрация п его молекул равна 10¹⁰ см^-3. Определить: 1) температуру Т газа; 2) среднюю кинетическую энергию < e_п> поступательного движения молекул газа.

103. Определить среднюю кинетическую энергию < e_п> поступательного движения и среднее значение < e> полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т =600 К.

104. Колба вместимостью V =4 л содержит некоторый газ массой m =0, 6 г под давлением p =200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость < v _кв> молекул газа.

105. Найти среднюю квадратичную < v _кв> среднюю арифметическую < v > и наиболее вероятную v _в скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) T =20 К; 2) T =300 К; 3) Т =5 кК.

106. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m =10^{-18 г}. Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на D h =10 м? Температура воздуха Т =300 К.

107. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 10^{-18 г. Отношение концентрации} n ₁ пылинок на высоте h ₁ = 1 м к концентрации п ₀ их на высоте h ₀=0 равно 0, 787. Температура воздуха Т =300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро N _А.

108. Определить силу F, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение п ₁ /п ₂ концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на D z =1 м, равно e. Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К.

109. На сколько уменьшится атмосферное давление р =100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h =100 м? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

110. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

111. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести формулу наиболее вероятной скорости v _в.

112. Найти среднюю длину свободного пробега < l > молекул водорода при давлении p =0, 1 Па и температуре Т =100 К.

113. При каком давлении р средняя длина свободного пробега < l > молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?

114. Баллон вместимостью V =10 л содержит водород массой m =1 г. Определить среднюю длину свободного пробега < l > молекул.

115. Определить плотность r разреженного водорода, если средняя длина свободного пробега < l > молекул равна 1 см.

116. Найти среднее число < z> столкновений, испытываемых в течение t =1 с молекулой кислорода при нормальных условиях.

117. Найти среднюю продолжительность < t> свободного пробега молекул кислорода при температуре Т =250 К и давлении р =100 Па.

118. Найти зависимость средней длины свободного пробега < l > молекул идеального газа от давления р при следующих процессах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зависимости на графиках.

119. Найти зависимость средней длины свободного пробега < l > молекул идеального газа от температуры T при следующих процессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эта зависимости на графиках.

120. Средняя длина свободного пробега < l > атомов гелия при нормальных условиях равна 180 нм. Определить диффузию D гелия.

121. Диффузия D кислорода при температуре t =0°С равна 0, 19 см²/с. Определить среднюю длину свободного пробега < l > молекул кислорода.

122. Вычислить диффузию D и среднюю длину свободного пробега < l > молекул азота при давлении p =100 Па и температуре T =300 К.

123. Вычислить динамическую вязкость h кислорода при нормальных условиях.

124. Найти среднюю длину свободного пробега < l > молекул азота при условии, что его динамическая вязкость h=17 мкПа× с.

125. Найти динамическую вязкость h гелия при нормальных условиях, если диффузия D при тех же условиях равна 1, 06× 10^-4 м²/

126. Вычислить теплопроводность l гелия при нормальных условиях.

127. Разность удельных теплоемкостей с_p -с_v некоторого двухатомного газа равна 260 Дж/(кг× К). Найти молярную массу М газа - его удельные теплоемкости с_v и с_p.

128. Каковы удельные теплоемкости с _v и с_p смеси газов, содержащей кислород массой m ₁=10 г и азот массой m ₂=20 г?

129. Определить удельную теплоемкость с _v смеси газов, содержащей V ₁=5 л водорода и V ₂=3 л гелия. Газы находятся при одинаковых условиях.

130. Найти показатель адиабаты g для смеси газов, содержащей гелий массой m ₁=10 г и водород массой m ₂=4 г.

131. При адиабатном сжатии кислорода массой m =1 кг совершена работа А =100 кДж. Определить конечную температуру T₂ газа, если до сжатия кислород находился при температуре T₁ =300 К.

132. Азот массой т=2 г, имевший температуру T ₁=300 К, был адиабатно сжат так, что его объем уменьшился в n =10 раз. Определить конечную температуру T ₂ газа и работу А сжатия.

133. Азот массой m =5 кг, нагретый на Δ T =150 К, сохранил неизменный объем V. Найти: 1) количество теплоты Q, сообщенное газу; 2) изменение Δ U внутренней энергии; 3) совершенную газом работу А.

134. Кислород нагревается при неизменном давлении р =80 кПа. Его объем увеличивается от V ₁=l м³ до V ₂=3м³. Определить: 1) изменение Δ U внутренней энергии кислорода; 2) работу А, совершенную им при расширении; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

135. Азот массой m =200 г расширяется изотермически при температуре Т =280 К, причем объем газа увеличивается в два раза. Найти: 1) изменение Δ U внутренней энергии газа; 2) совершенную при расширении газа работу А; 3) количество теплоты Q, полученное газом.

136. Наименьший объем V ₁ газа, совершающего цикл Карно, равен 153 л. Определить наибольший объем V ₃, если объем V ₂ в конце изотермического расширения и объем V ₄ в конце изотермического сжатия равны соответственно 600 и 189 л.

137. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества теплоты Q ₁, полученного от нагревателя, отдает охладителю. Температура Т ₂ охладителя равна 280 К. Определить температуру T ₁ нагревателя.

138. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T ₁ нагревателя в три раза выше температуры Т ₂ охладителя. Нагреватель передал газу количество теплоты Q ₁=42 кДж. Какую работу А совершил газ?

139. Смешали воду массой m ₁=5 кг при температуре T ₁=280 К с водой массой m ₂=8 кг при температуре Т ₂=350 К. Найти: 1) температуру θ смеси; 2) изменение Δ S энтропии, происходящее при смешивании.

140. В результате изохорного нагревания водорода массой m =l г давление р газа увеличилось в два раза. Определить изменение Δ S энтропии газа.

141. Найти изменение Δ S энтропии при изобарном расширении азота массой m =4 г от объема V ₁=5 л до объема V ₂=9 л

142. Вычислить постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота, если известны критические температуры T _кр=126 К и давление р _кр = 3, 39 МПа.

143. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь, увеличить его диаметр от d ₁=l см до d ₂=ll см? Считать процесс изотермическим.

144. Две капли ртути радиусом r =1 мм каждая слились в одну большую каплю. Какая энергия выделится при этом слиянии? Считать процесс изотермическим.

145. Воздушный пузырек диаметром d =2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность р воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

146. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше атмосферного давления р _о, если диаметр пузыря d= 5 см?

147. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h =20 мм. Определить поверхностное натяжение s глицерина, если диаметр d канала трубки равен 1 мм.

148. Диаметр d канала стеклянной трубки чашечного ртутного барометра равен 5 мм. Какую поправку D p нужно вводить в отсчеты по этому барометру, чтобы получить верное значение атмосферного давления?

149. В жидкость нижними концами опущены две вертикальные капиллярные трубки с внутренними диаметрами d ₁=0, 05 см и d ₂=0, l см. Разность Dh уровней жидкости в трубках равна 11, 6 мм. Плотность ρ жидкости равна 0, 8 г/см³. Найти поверхностное натяжение s жидкости.

150. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Найти массу т вошедшей в трубку воды. '